Exercices corrigés — Fonction logarithme népérien (Terminale)

a) ln a − ln b = ln(ab) : ln 8 − ln 2 = ln(82) = ln 4 = ln(2²) = 2 ln 2.
b) ln(e³) = 3 car ln(e^y) = y, et ln(1e) = −ln e = −1. La somme vaut 3 + (−1) = 2.
c) 3 ln 2 = ln(2³) = ln 8, puis ln 8 + ln 5 = ln 40 et ln 40 − ln 10 = ln(4010) = ln 4 = 2 ln 2.
d) √e = e¹², donc ln(√e) = 12. Plus généralement, ln(√a) = (12) ln a pour a > 0.

on isole l'exponentielle : e^3x = 72. Le second membre est strictement positif, comme l'exponentielle : l'équation peut avoir des solutions.
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, donc deux réels strictement positifs sont égaux si et seulement si leurs logarithmes le sont : e^3x = 72 ⇔ ln(e^3x) = ln(72) ⇔ 3x = ln(72).
D'où x = ln(72)/3 = ln 7 − ln 23 ≈ 0,418. L'équation a une unique solution.
Vérification : 2e^{3 × 0,418} ≈ 2 × 3,50 = 7. Si le second membre avait été négatif, par exemple 2e^3x = −7, l'équation n'aurait eu aucune solution.

a) Conditions d'existence : x > 0 et x + 3 > 0, soit x > 0. Sur ]0 ; +∞[, ln(x) + ln(x + 3) = ln[x(x + 3)], et l'équation devient ln(x² + 3x) = ln 10, soit x² + 3x = 10 car ln est strictement croissante.
x² + 3x − 10 = 0 : le discriminant vaut 9 + 40 = 49, les racines sont −3 − 72 = −5 et −3 + 72 = 2. La valeur −5 ne respecte pas la condition x > 0 : on l'écarte. Solution : {2}. Vérification : ln 2 + ln 5 = ln 10.
b) Condition d'existence : 2x − 3 > 0, soit x > 32. Comme 2 = ln(e²), l'équation s'écrit ln(2x − 3) = ln(e²), donc 2x − 3 = e² et x = 3 + e²2 ≈ 5,19.
Cette valeur est bien supérieure à 32 : c'est l'unique solution. Oublier la vérification du domaine en a) conduirait à donner deux solutions au lieu d'une.

pour tout réel x, x² + 1 > 0 : f est définie et dérivable sur ℝ. Avec (ln u)' = u'/u et u(x) = x² + 1, u' = 2x :
f'(x) = 2x/(x² + 1).
Le dénominateur est strictement positif, donc f'(x) est du signe de 2x, c'est-à-dire de x : négative sur ]−∞ ; 0[, nulle en 0, positive sur ]0 ; +∞[.
f est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞[. Elle atteint son minimum en 0 : f(0) = ln 1 = 0. Aux bornes, x² + 1 → +∞, donc f(x) → +∞ en ±∞ par composition. La fonction est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

a) Diminuer de 20 %, c'est multiplier par 1 − 0,2 = 0,8 : Q_n+1 = 0,8Q_n. La suite (Q_n) est géométrique de raison 0,8 et de premier terme 500, donc Q_n = 500 × 0,8ⁿ.
b) On cherche le plus petit entier n tel que 500 × 0,8ⁿ < 5, soit 0,8ⁿ < 0,01.
La fonction ln étant strictement croissante, cette inégalité équivaut à ln(0,8ⁿ) < ln 0,01, soit n ln 0,8 < ln 0,01. Or ln 0,8 < 0 (car 0,8 < 1) : en divisant par ce nombre négatif, le sens de l'inégalité change : n > ln 0,01ln 0,8 ≈ −4,605−0,223 ≈ 20,6.
Le premier entier qui convient est n = 21. Vérification : Q₂₀ = 500 × 0,8²⁰ ≈ 5,76 mg (encore au-dessus de 5) et Q₂₁ ≈ 4,61 mg. La quantité passe sous 5 mg au bout de 21 heures.

a) En 0⁺ : x → 0 et ln x → −∞, donc −ln x → +∞ et f(x) → +∞. En +∞, la forme est ∞ − ∞ ; on factorise : f(x) = x(1 − ln xx). Par croissances comparées, ln xx → 0, donc la parenthèse tend vers 1 et f(x) → +∞.
b) f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et f'(x) = 1 − 1x = x − 1x. Comme x > 0, f'(x) est du signe de x − 1 : négative sur ]0 ; 1[, nulle en 1, positive sur ]1 ; +∞[. f est strictement décroissante sur ]0 ; 1] et strictement croissante sur [1 ; +∞[ ; son minimum est f(1) = 1 − ln 1 = 1.
c) D'après le tableau de variations, pour tout x > 0, f(x) ≥ f(1) = 1, c'est-à-dire x − ln x ≥ 1, soit ln x ≤ x − 1, avec égalité seulement pour x = 1.
Interprétation : la droite y = x − 1 est la tangente à la courbe de ln au point d'abscisse 1, et la courbe de ln, fonction concave, est en dessous de toutes ses tangentes.

quand x → 0⁺, x → 0 et ln x → −∞ : la forme est 0 × (−∞), indéterminée.
Le résultat de croissances comparées du cours, xⁿ ln x → 0 en 0⁺ pour tout entier n ≥ 1, s'applique avec n = 1 : x ln x → 0.
Justification par changement de variable : posons t = −ln x. Quand x → 0⁺, t → +∞, et x = e^−t. Alors x ln x = −te^−t = −te^t. Par croissances comparées, te^t → 0, donc x ln x → 0.
Le produit tend vers 0 par valeurs négatives (x > 0 et ln x < 0 pour x < 1). Conséquence : la fonction x ↦ x ln x se prolonge par continuité en 0 en posant 0 ln 0 = 0.

a) Forme ∞∞. Posons t = √x, de sorte que x = t² et ln x = 2 ln t ; quand x → +∞, t → +∞. Alors ln(x)√x = 2 ln(t)t → 0 par croissances comparées. Le logarithme croît moins vite que toute puissance de x, même √x = x¹².
b) Forme ∞ − ∞. On factorise : x − 3 ln x = x(1 − 3 ln xx). Comme ln xx → 0, la parenthèse tend vers 1 et le produit vers +∞.
c) Forme 0 × (−∞). Par croissances comparées en 0⁺, xⁿ ln x → 0 pour n = 2 : la limite est 0.
d) Forme ∞ − ∞. On regroupe grâce à ln a − ln b = ln(ab) : ln(x² + 1) − ln x = ln[x² + 1x] = ln(x + 1x). Or x + 1x → +∞, et ln(X) → +∞ quand X → +∞ : par composition, la limite est +∞.