Exercices corrigés — Dérivation, variations et convexité (Terminale)

f est dérivable sur ℝ (produit). Avec u = x² + 1, u' = 2x, et v = e^−x, v' = −e^−x : f'(x) = 2xe^−x − (x² + 1)e^−x = e^−x(−x² + 2x − 1) = −e^−x(x − 1)².
e^−x > 0 et (x − 1)² ≥ 0, donc f'(x) ≤ 0 pour tout réel x, avec f'(x) = 0 seulement pour x = 1. Une dérivée négative qui ne s'annule qu'en un point isolé donne une fonction strictement décroissante : f est strictement décroissante sur ℝ.
Limites : en −∞, x² + 1 → +∞ et e^−x → +∞, donc f(x) → +∞. En +∞, f(x) = x²e^x + 1e^x → 0 + 0 = 0 par croissances comparées.
Tableau : f décroît strictement de +∞ vers 0 sur ℝ, sans extremum. Au point d'abscisse 1, f(1) = 2e ≈ 0,74, la tangente est horizontale mais il n'y a ni maximum ni minimum : f'(1) = 0 ne suffit pas à conclure à un extremum, il faut un changement de signe de f'.

g'(x) = −2xe^−x2 (dérivée de e^u avec u = −x²). On dérive ce produit : g''(x) = −2e^−x2 + (−2x)(−2x)e^−x2 = (4x² − 2)e^−x2 = 2(2x² − 1)e^−x2.
L'exponentielle étant strictement positive, g'' est du signe de 2x² − 1, qui s'annule pour x = ±1√2 = ±√22, est négatif entre ces deux valeurs et positif à l'extérieur.
g est donc convexe sur ]−∞ ; −√22] et sur [√22 ; +∞[, et concave sur [−√22 ; √22].
g'' change de signe en −√22 et en √22 : la courbe admet deux points d'inflexion, d'abscisses ±√22 et d'ordonnée g(±√22) = e⁻¹² = 1√e ≈ 0,61. C'est la « courbe en cloche » : bombée au centre, elle s'infléchit de part et d'autre du sommet.