Dérivation, variations et convexité — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 9 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Nombre dérivé et tangente
Définition
Une fonction f est dérivable en a si le taux d'accroissement [f(a + h) − f(a)]/h possède une limite finie lorsque h tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé f'(a).
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :
y = f(a) + f'(a)(x − a).
Approximation affine
Au voisinage de a, f(a + h) ≈ f(a) + f'(a)h. Plus précisément, f(a + h) = f(a) + f'(a)h + hε(h), avec ε(h) → 0.
2. Formules de dérivation
Table et opérations
| Fonction | Dérivée | Domaine utile |
|---|---|---|
| xn | n xn−1 | ℝ, n entier ≥ 1 |
| 1x | −1x2 | ℝ ∖ {0} |
| √x | 12√x | ]0 ; +∞[ |
| ex | ex | ℝ |
| sin x | cos x | ℝ |
| cos x | −sin x | ℝ |
(u + v)' = u' + v' ; (uv)' = u'v + uv' ; (uv)' = u'v − uv'v2.
Dérivée d'une composée
Si v est dérivable en x et u dérivable en v(x), alors :
(u ∘ v)'(x) = v'(x) × u'(v(x)).
En particulier, (eu)' = u'eu, (√u)' = u'/(2√u) lorsque u > 0, et (un)' = n u'un−1.
3. Dérivée et variations
Théorème
Sur un intervalle I, si f' ≥ 0 alors f est croissante ; si f' ≤ 0 alors f est décroissante. Si la dérivée est strictement positive, sauf éventuellement en des points isolés, f est strictement croissante.
4. Convexité
Définitions géométriques
Une fonction f est convexe sur un intervalle lorsque sa courbe est sous toutes ses cordes. Elle est concave lorsque sa courbe est au-dessus de ses cordes. Si f est dérivable et convexe, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes.
Caractérisations
Pour une fonction dérivable sur I, f est convexe si et seulement si f' est croissante. Si f est deux fois dérivable :
- f'' ≥ 0 sur I ⇒ f convexe ;
- f'' ≤ 0 sur I ⇒ f concave.
Point d'inflexion
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente et change de convexité. Pour une fonction deux fois dérivable, un changement de signe de f'' en a établit que le point d'abscisse a est un point d'inflexion. L'égalité f''(a) = 0 seule ne suffit pas.
5. Inégalités de convexité
Position par rapport aux tangentes
Si f est convexe et dérivable, pour tous a, x de l'intervalle :
f(x) ≥ f(a) + f'(a)(x − a).
Pour une fonction concave, le sens est inversé.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Construire un tableau de variations
- Déterminer le domaine.
- Calculer et factoriser f'.
- Résoudre f'(x) = 0 et étudier son signe.
- Calculer les images des points critiques et les limites aux bornes.
- Reporter signes, flèches et valeurs dans le tableau, puis conclure.
Méthode 2
L'exponentielle a pour dérivée seconde ex > 0, elle est donc convexe. Sa tangente en 0 a pour équation y = e0 + e0(x − 0) = 1 + x. La courbe étant au-dessus de la tangente, ex ≥ 1 + x pour tout réel x.
Méthode 3Erreurs fréquentes
- Oublier la dérivée de la fonction intérieure dans une composée.
- Confondre le signe de f avec celui de f'.
- Déduire un point d'inflexion de la seule égalité f'' = 0 sans changement de signe.
- Dire qu'une courbe convexe est sous ses tangentes : elle est sous ses cordes mais au-dessus de ses tangentes.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés