Exercices corrigés — Dérivation, variations et convexité (Terminale)

a) (e^u)' = u'e^u avec u(x) = 3x + 1 et u' = 3 : f'(x) = 3e^3x+1.
b) (√u)' = u'/(2√u) avec u(x) = x² + 1 > 0 et u' = 2x : g'(x) = 2x/(2√x² + 1) = x√(x² + 1). La fonction est dérivable sur ℝ car u ne s'annule jamais.
c) (uⁿ)' = nu'uⁿ⁻¹ avec u(x) = 2x + 1, u' = 2 et n = 4 : h'(x) = 4 × 2 × (2x + 1)³ = 8(2x + 1)³. Oublier le facteur u' = 2 est l'erreur la plus fréquente.
d) On écrit k(x) = xe^−x et on dérive le produit : k'(x) = 1 × e^−x + x × (−e^−x) = (1 − x)e^−x. Avec la formule du quotient, on obtient e^x − xe^xe^2x = 1 − xe^x, la même chose.

la tangente au point d'abscisse a a pour équation y = h(a) + h'(a)(x − a). Ici h(2) = 12 et h'(x) = −1x², donc h'(2) = −14.
Tangente : y = 12 − (14)(x − 2) = 12 − x4 + 12 = 1 − x4. Vérification : pour x = 2, 1 − 24 = 12 = h(2).
Position : h''(x) = 2x³ > 0 sur ]0 ; +∞[, donc h est convexe sur cet intervalle et sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Directement : h(x) − (1 − x4) = 1x − 1 + x4 = 4 − 4x + x²4x = (x − 2)²/(4x) ≥ 0 pour x > 0, avec égalité seulement en x = 2.