Exercices corrigés — Dérivation, variations et convexité (Terminale)

a) f(1) = 1 − 3 + 2 = 0 et f'(x) = 3x² − 6x, donc f'(1) = 3 − 6 = −3. T : y = f(1) + f'(1)(x − 1) = −3(x − 1) = −3x + 3.
b) On étudie le signe de f(x) − (−3x + 3) = x³ − 3x² + 3x − 1. On reconnaît le développement de (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1. Or (x − 1)³ est du signe de x − 1 : négatif pour x < 1, positif pour x > 1.
La courbe est donc en dessous de T sur ]−∞ ; 1[ et au-dessus sur ]1 ; +∞[ : elle traverse sa tangente au point d'abscisse 1.
c) Le point (1 ; 0) est un point d'inflexion : la courbe y change de convexité. Confirmation par la dérivée seconde : f''(x) = 6x − 6 = 6(x − 1) s'annule en 1 en changeant de signe ; f est concave sur ]−∞ ; 1] et convexe sur [1 ; +∞[.

f est dérivable sur ℝ comme produit de fonctions dérivables. f'(x) = 1 × e^−x + x × (−e^−x) = e^−x(1 − x).
Comme e^−x > 0 pour tout réel x, f'(x) est du signe de 1 − x : positive sur ]−∞ ; 1[, nulle en 1, négative sur ]1 ; +∞[.
Donc f est strictement croissante sur ]−∞ ; 1] et strictement décroissante sur [1 ; +∞[. Elle atteint son maximum en 1 : f(1) = 1 × e⁻¹ = 1e ≈ 0,37.
Limites : en −∞, x → −∞ et e^−x → +∞, donc f(x) → −∞ ; en +∞, f(x) = xe^x → 0 par croissances comparées, l'axe des abscisses est asymptote. Tableau : f croît de −∞ à 1e sur ]−∞ ; 1], puis décroît de 1e vers 0 sur [1 ; +∞[.