Dérivation, variations et convexité — cours de Terminale
Nombre dérivé et tangente, Formules de dérivation, Dérivée et variations, Convexité Lecture ≈ 4 min.
1. Nombre dérivé et tangente
Une fonction f est dérivable en a si le taux d'accroissement [f(a + h) − f(a)]/h possède une limite finie lorsque h tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé f'(a).
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :
y = f(a) + f'(a)(x − a).
Au voisinage de a, f(a + h) ≈ f(a) + f'(a)h. Plus précisément, f(a + h) = f(a) + f'(a)h + hε(h), avec ε(h) → 0.
Pour f(x) = √x, au point 4, f(4) = 2 et f'(4) = 14. La tangente est y = 2 + x − 44 = x4 + 1. On estime √4,04 ≈ 2 + 0,044 = 2,01.
2. Formules de dérivation
| Fonction | Dérivée | Domaine utile |
|---|---|---|
| xn | n xn−1 | ℝ, n entier ≥ 1 |
| 1x | −1x2 | ℝ ∖ {0} |
| √x | 12√x | ]0 ; +∞[ |
| ex | ex | ℝ |
| sin x | cos x | ℝ |
| cos x | −sin x | ℝ |
(u + v)' = u' + v' ; (uv)' = u'v + uv' ; (uv)' = u'v − uv'v2.
Si v est dérivable en x et u dérivable en v(x), alors :
(u ∘ v)'(x) = v'(x) × u'(v(x)).
En particulier, (eu)' = u'eu, (√u)' = u'/(2√u) lorsque u > 0, et (un)' = n u'un−1.
f(x) = (2x − 1)e−x2.
Posons u(x) = 2x − 1 et v(x) = e−x2. Alors u' = 2 et v' = −2xe−x2. Par la règle du produit :
f'(x) = 2e−x2 − 2x(2x − 1)e−x2
= 2e−x2(1 − 2x2 + x).
La factorisation est utile car l'exponentielle est toujours positive : le signe de f' est celui du trinôme 1 + x − 2x2.
3. Dérivée et variations
Sur un intervalle I, si f' ≥ 0 alors f est croissante ; si f' ≤ 0 alors f est décroissante. Si la dérivée est strictement positive, sauf éventuellement en des points isolés, f est strictement croissante.
- Déterminer le domaine.
- Calculer et factoriser f'.
- Résoudre f'(x) = 0 et étudier son signe.
- Calculer les images des points critiques et les limites aux bornes.
- Reporter signes, flèches et valeurs dans le tableau, puis conclure.
On fabrique une boîte sans couvercle en découpant des carrés de côté x aux coins d'une feuille 30 cm par 20 cm. Le volume est V(x) = x(30 − 2x)(20 − 2x) sur [0 ; 10].
En développant, V(x) = 4x3 − 100x2 + 600x, donc V'(x) = 12x2 − 200x + 600 = 4(3x2 − 50x + 150). Les racines sont 25 ± 5√73 ; seule x0 = 25 − 5√73 ≈ 3,92 appartient à [0 ; 10]. La dérivée est positive avant x0, négative après. Le volume maximal est atteint pour une découpe d'environ 3,92 cm.
4. Convexité
Une fonction f est convexe sur un intervalle lorsque sa courbe est sous toutes ses cordes. Elle est concave lorsque sa courbe est au-dessus de ses cordes. Si f est dérivable et convexe, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes.
Pour une fonction dérivable sur I, f est convexe si et seulement si f' est croissante. Si f est deux fois dérivable :
- f'' ≥ 0 sur I ⇒ f convexe ;
- f'' ≤ 0 sur I ⇒ f concave.
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente et change de convexité. Pour une fonction deux fois dérivable, un changement de signe de f'' en a établit que le point d'abscisse a est un point d'inflexion. L'égalité f''(a) = 0 seule ne suffit pas.
f(x) = x3 − 3x. Alors f'(x) = 3x2 − 3 et f''(x) = 6x. La fonction est concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[. La dérivée seconde change de signe en 0 : O(0 ; 0) est un point d'inflexion.
5. Inégalités de convexité
Si f est convexe et dérivable, pour tous a, x de l'intervalle :
f(x) ≥ f(a) + f'(a)(x − a).
Pour une fonction concave, le sens est inversé.
L'exponentielle a pour dérivée seconde ex > 0, elle est donc convexe. Sa tangente en 0 a pour équation y = e0 + e0(x − 0) = 1 + x. La courbe étant au-dessus de la tangente, ex ≥ 1 + x pour tout réel x.
- Oublier la dérivée de la fonction intérieure dans une composée.
- Confondre le signe de f avec celui de f'.
- Déduire un point d'inflexion de la seule égalité f'' = 0 sans changement de signe.
- Dire qu'une courbe convexe est sous ses tangentes : elle est sous ses cordes mais au-dessus de ses tangentes.