strictement décroissante. Le signe de la dérivée donne le sens de variation : négatif signifie décroissant.

Faux. La bonne formule est (uv)′ = u′v + uv′.

Vrai. C'est la caractérisation géométrique de la convexité sur un intervalle.

12x² − 2. On dérive terme à terme : 12x² pour 4x³, −2 pour −2x, et la constante disparaît.

y = 2x − 1. f(1) = 1 et f′(1) = 2, donc y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.

6x. On a f′(x) = 3x² − 3, puis en dérivant à nouveau f″(x) = 6x.

Question 1

Quelle est la dérivée de f(x) = x⁴ ?

Accepted Answer

4x³. (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹, donc pour n = 4 on obtient 4x³.

Question 2

Si f″ est strictement positive sur un intervalle I, alors f est :

Accepted Answer

convexe sur I. Une dérivée seconde positive signifie que la dérivée croît, ce qui caractérise la convexité.

Question 3

Un point d'inflexion est un point où :

Accepted Answer

la dérivée seconde s'annule en changeant de signe. C'est en ce point que la courbe passe de convexe à concave, ou l'inverse.

Question 4

Quelle est la dérivée de f(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[ ?

Accepted Answer

−1/x². La fonction inverse est décroissante, sa dérivée −1/x² est bien négative.

Question 5

Si f′(x) < 0 sur un intervalle, alors sur cet intervalle f est :

Accepted Answer

strictement décroissante. Le signe de la dérivée donne le sens de variation : négatif signifie décroissant.

Question 6

Pour deux fonctions dérivables, (uv)′ = u′v′.

Accepted Answer

Faux. La bonne formule est (uv)′ = u′v + uv′.

Question 7

La courbe d'une fonction convexe est située au-dessus de chacune de ses tangentes.

Accepted Answer

Vrai. C'est la caractérisation géométrique de la convexité sur un intervalle.

Question 8

Soit f(x) = 4x³ − 2x + 7. Écris f′(x).

Accepted Answer

12x² − 2. On dérive terme à terme : 12x² pour 4x³, −2 pour −2x, et la constante disparaît.

Question 9

Donne l'équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² au point d'abscisse 1.

Accepted Answer

y = 2x − 1. f(1) = 1 et f′(1) = 2, donc y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.

Question 10

Soit f(x) = x³ − 3x. Détermine f″(x).

Accepted Answer

6x. On a f′(x) = 3x² − 3, puis en dérivant à nouveau f″(x) = 6x.

Quiz — Dérivation, variations et convexité (Terminale)

Quelle est la dérivée de f(x) = x⁴ ?