Exercices corrigés — Dérivation, variations et convexité (Terminale)

a) g'(x) = 4x³ − 12x et g''(x) = 12x² − 12 = 12(x² − 1) = 12(x − 1)(x + 1).
b) g''(x) est du signe du trinôme x² − 1 : positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. Donc g'' > 0 sur ]−∞ ; −1[ et sur ]1 ; +∞[, et g'' < 0 sur ]−1 ; 1[.
g est convexe sur ]−∞ ; −1] et sur [1 ; +∞[, concave sur [−1 ; 1].
g'' s'annule en changeant de signe en −1 et en 1 : ce sont les abscisses des points d'inflexion. Leurs ordonnées valent g(±1) = 1 − 6 + 5 = 0 : les points d'inflexion sont (−1 ; 0) et (1 ; 0), qui sont aussi des points d'intersection avec l'axe des abscisses. Rappel : l'annulation de g'' ne suffit pas, c'est le changement de signe qui caractérise l'inflexion (pour x⁴, g'' s'annule en 0 sans inflexion).

a) u'(x) = −e^−x et u''(x) = e^−x > 0 pour tout réel x. La dérivée seconde est strictement positive sur ℝ, donc u est convexe sur ℝ.
b) u(0) = 1 et u'(0) = −1. La tangente en 0 a pour équation y = u(0) + u'(0)(x − 0) = 1 − x.
c) Une fonction convexe et dérivable a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes : pour tout réel x, u(x) ≥ 1 − x, c'est-à-dire e^−x ≥ 1 − x, avec égalité seulement en x = 0.
d) d est dérivable sur ℝ et d'(x) = −e^−x + 1. On a d'(x) = 0 si et seulement si e^−x = 1, soit x = 0. Pour x < 0, −x > 0 donc e^−x > 1 et d'(x) < 0 ; pour x > 0, e^−x < 1 et d'(x) > 0. La fonction d est décroissante sur ]−∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[ : elle atteint son minimum en 0, et d(0) = 1 − 1 + 0 = 0. Donc d(x) ≥ 0 pour tout réel x, ce qui redonne e^−x ≥ 1 − x. En remplaçant x par −x, on retrouve l'inégalité du cours e^x ≥ 1 + x.