Exercices corrigés — Dérivation, variations et convexité (Terminale)

a) (e^u)' = u'e^u avec u(x) = 3x + 1 et u' = 3 : f'(x) = 3e^3x+1.
b) (√u)' = u'/(2√u) avec u(x) = x² + 1 > 0 et u' = 2x : g'(x) = 2x/(2√x² + 1) = x√(x² + 1). La fonction est dérivable sur ℝ car u ne s'annule jamais.
c) (uⁿ)' = nu'uⁿ⁻¹ avec u(x) = 2x + 1, u' = 2 et n = 4 : h'(x) = 4 × 2 × (2x + 1)³ = 8(2x + 1)³. Oublier le facteur u' = 2 est l'erreur la plus fréquente.
d) On écrit k(x) = xe^−x et on dérive le produit : k'(x) = 1 × e^−x + x × (−e^−x) = (1 − x)e^−x. Avec la formule du quotient, on obtient e^x − xe^xe^2x = 1 − xe^x, la même chose.

la tangente au point d'abscisse a a pour équation y = h(a) + h'(a)(x − a). Ici h(2) = 12 et h'(x) = −1x², donc h'(2) = −14.
Tangente : y = 12 − (14)(x − 2) = 12 − x4 + 12 = 1 − x4. Vérification : pour x = 2, 1 − 24 = 12 = h(2).
Position : h''(x) = 2x³ > 0 sur ]0 ; +∞[, donc h est convexe sur cet intervalle et sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Directement : h(x) − (1 − x4) = 1x − 1 + x4 = 4 − 4x + x²4x = (x − 2)²/(4x) ≥ 0 pour x > 0, avec égalité seulement en x = 2.

a) f(1) = 1 − 3 + 2 = 0 et f'(x) = 3x² − 6x, donc f'(1) = 3 − 6 = −3. T : y = f(1) + f'(1)(x − 1) = −3(x − 1) = −3x + 3.
b) On étudie le signe de f(x) − (−3x + 3) = x³ − 3x² + 3x − 1. On reconnaît le développement de (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1. Or (x − 1)³ est du signe de x − 1 : négatif pour x < 1, positif pour x > 1.
La courbe est donc en dessous de T sur ]−∞ ; 1[ et au-dessus sur ]1 ; +∞[ : elle traverse sa tangente au point d'abscisse 1.
c) Le point (1 ; 0) est un point d'inflexion : la courbe y change de convexité. Confirmation par la dérivée seconde : f''(x) = 6x − 6 = 6(x − 1) s'annule en 1 en changeant de signe ; f est concave sur ]−∞ ; 1] et convexe sur [1 ; +∞[.

f est dérivable sur ℝ comme produit de fonctions dérivables. f'(x) = 1 × e^−x + x × (−e^−x) = e^−x(1 − x).
Comme e^−x > 0 pour tout réel x, f'(x) est du signe de 1 − x : positive sur ]−∞ ; 1[, nulle en 1, négative sur ]1 ; +∞[.
Donc f est strictement croissante sur ]−∞ ; 1] et strictement décroissante sur [1 ; +∞[. Elle atteint son maximum en 1 : f(1) = 1 × e⁻¹ = 1e ≈ 0,37.
Limites : en −∞, x → −∞ et e^−x → +∞, donc f(x) → −∞ ; en +∞, f(x) = xe^x → 0 par croissances comparées, l'axe des abscisses est asymptote. Tableau : f croît de −∞ à 1e sur ]−∞ ; 1], puis décroît de 1e vers 0 sur [1 ; +∞[.

f est dérivable sur ℝ (produit). Avec u = x² + 1, u' = 2x, et v = e^−x, v' = −e^−x : f'(x) = 2xe^−x − (x² + 1)e^−x = e^−x(−x² + 2x − 1) = −e^−x(x − 1)².
e^−x > 0 et (x − 1)² ≥ 0, donc f'(x) ≤ 0 pour tout réel x, avec f'(x) = 0 seulement pour x = 1. Une dérivée négative qui ne s'annule qu'en un point isolé donne une fonction strictement décroissante : f est strictement décroissante sur ℝ.
Limites : en −∞, x² + 1 → +∞ et e^−x → +∞, donc f(x) → +∞. En +∞, f(x) = x²e^x + 1e^x → 0 + 0 = 0 par croissances comparées.
Tableau : f décroît strictement de +∞ vers 0 sur ℝ, sans extremum. Au point d'abscisse 1, f(1) = 2e ≈ 0,74, la tangente est horizontale mais il n'y a ni maximum ni minimum : f'(1) = 0 ne suffit pas à conclure à un extremum, il faut un changement de signe de f'.

g'(x) = −2xe^−x2 (dérivée de e^u avec u = −x²). On dérive ce produit : g''(x) = −2e^−x2 + (−2x)(−2x)e^−x2 = (4x² − 2)e^−x2 = 2(2x² − 1)e^−x2.
L'exponentielle étant strictement positive, g'' est du signe de 2x² − 1, qui s'annule pour x = ±1√2 = ±√22, est négatif entre ces deux valeurs et positif à l'extérieur.
g est donc convexe sur ]−∞ ; −√22] et sur [√22 ; +∞[, et concave sur [−√22 ; √22].
g'' change de signe en −√22 et en √22 : la courbe admet deux points d'inflexion, d'abscisses ±√22 et d'ordonnée g(±√22) = e⁻¹² = 1√e ≈ 0,61. C'est la « courbe en cloche » : bombée au centre, elle s'infléchit de part et d'autre du sommet.

a) g'(x) = 4x³ − 12x et g''(x) = 12x² − 12 = 12(x² − 1) = 12(x − 1)(x + 1).
b) g''(x) est du signe du trinôme x² − 1 : positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. Donc g'' > 0 sur ]−∞ ; −1[ et sur ]1 ; +∞[, et g'' < 0 sur ]−1 ; 1[.
g est convexe sur ]−∞ ; −1] et sur [1 ; +∞[, concave sur [−1 ; 1].
g'' s'annule en changeant de signe en −1 et en 1 : ce sont les abscisses des points d'inflexion. Leurs ordonnées valent g(±1) = 1 − 6 + 5 = 0 : les points d'inflexion sont (−1 ; 0) et (1 ; 0), qui sont aussi des points d'intersection avec l'axe des abscisses. Rappel : l'annulation de g'' ne suffit pas, c'est le changement de signe qui caractérise l'inflexion (pour x⁴, g'' s'annule en 0 sans inflexion).

a) u'(x) = −e^−x et u''(x) = e^−x > 0 pour tout réel x. La dérivée seconde est strictement positive sur ℝ, donc u est convexe sur ℝ.
b) u(0) = 1 et u'(0) = −1. La tangente en 0 a pour équation y = u(0) + u'(0)(x − 0) = 1 − x.
c) Une fonction convexe et dérivable a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes : pour tout réel x, u(x) ≥ 1 − x, c'est-à-dire e^−x ≥ 1 − x, avec égalité seulement en x = 0.
d) d est dérivable sur ℝ et d'(x) = −e^−x + 1. On a d'(x) = 0 si et seulement si e^−x = 1, soit x = 0. Pour x < 0, −x > 0 donc e^−x > 1 et d'(x) < 0 ; pour x > 0, e^−x < 1 et d'(x) > 0. La fonction d est décroissante sur ]−∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[ : elle atteint son minimum en 0, et d(0) = 1 − 1 + 0 = 0. Donc d(x) ≥ 0 pour tout réel x, ce qui redonne e^−x ≥ 1 − x. En remplaçant x par −x, on retrouve l'inégalité du cours e^x ≥ 1 + x.