Exercices corrigés — Vecteurs et géométrie repérée (Seconde)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Maîtrise ». Voir les 8 exercices.

Exercice 5 Maîtrise

Les vecteurs u(6 ; −9) et v(−4 ; 6) sont-ils colinéaires ?

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Correction détaillée

deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : det(u, v) = xy' − yx'.
det(u, v) = 6 × 6 − (−9) × (−4) = 36 − 36 = 0.
Les vecteurs sont donc colinéaires. On peut expliciter le coefficient : u = kv avec 6 = −4k, soit k = −32 ; on vérifie la seconde coordonnée, −32 × 6 = −9. Ainsi u = −(32)v : les deux vecteurs ont la même direction et des sens opposés.
Le déterminant évite les divisions : comparer les rapports 6−4 et −96 fonctionne ici, mais échoue dès qu'une coordonnée est nulle.

Exercice 6 Maîtrise

A(1 ; 2), B(3 ; 5) et C(6 ; 1). a) Déterminer les coordonnées du point M tel que AM = AB + AC. b) Quelle est la nature du quadrilatère ABMC ? c) Soit N le milieu de [BC]. Montrer que N est aussi le milieu de [AM].

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Correction détaillée

a) AB = (2 ; 3) et AC = (5 ; −1), donc AB + AC = (7 ; 2). En notant M(x ; y), AM = (x − 1 ; y − 2) = (7 ; 2), d'où x = 8 et y = 4 : M(8 ; 4).
b) AM = AB + AC s'écrit aussi AM − AB = AC, soit BM = AC : ABMC est un parallélogramme (règle du parallélogramme pour la somme de deux vecteurs de même origine). Vérification : BM = (8 − 3 ; 4 − 5) = (5 ; −1) = AC.
c) N milieu de [BC] : N(3 + 62 ; 5 + 12) = N(4,5 ; 3). Milieu de [AM] : (1 + 82 ; 2 + 42) = (4,5 ; 3). C'est le même point : N est le milieu de [AM].
On retrouve une propriété du parallélogramme : ses diagonales [AM] et [BC] se coupent en leur milieu. Autre preuve : AN = (3,5 ; 1) et AM = (7 ; 2) = 2AN, donc A, N, M sont alignés et AN = AM2.

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