Vecteurs et géométrie repérée — cours de Seconde
Vecteur, représentants et égalité, Somme, relation de Chasles et produit par un réel, Base et coordonnées, Coordonnées d'un vecteur, milieu et distance Lecture ≈ 4 min.
1. Vecteur, représentants et égalité
Le vecteur AB décrit le déplacement du point A vers le point B. Il est caractérisé par une direction, un sens et une longueur. Plusieurs flèches peuvent représenter le même vecteur : ce sont ses représentants.
AB = CD signifie que les deux déplacements ont même direction, même sens et même longueur. Cela équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme, y compris dans les cas dégénérés.
AA est le vecteur nul, noté 0. L'opposé de AB est −AB = BA.
2. Somme, relation de Chasles et produit par un réel
Pour tous points A, B et C :
AB + BC = AC.
La somme u + v se construit par la règle du parallélogramme lorsque les deux représentants ont la même origine.
Pour un réel k, le vecteur ku :
- a la même direction que u ;
- a le même sens si k > 0, le sens opposé si k < 0 ;
- a une longueur multipliée par |k| ;
- est nul si k = 0 ou u = 0.
Simplifier AB + DA + BC.
On réordonne : DA + AB + BC = DB + BC = DC.
3. Base et coordonnées
Deux vecteurs i et j non colinéaires forment une base du plan. Tout vecteur u s'écrit de façon unique u = xi + yj. Le couple (x ; y) est celui des coordonnées de u.
Dans une base orthonormée, i et j sont perpendiculaires et de norme 1.
Si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors :
- u + v = (x + x' ; y + y') ;
- ku = (kx ; ky) ;
- u = v si et seulement si x = x' et y = y'.
u(2 ; −3), v(−1 ; 4). Alors 3u − 2v = (6 ; −9) − (−2 ; 8) = (8 ; −17).
4. Coordonnées d'un vecteur, milieu et distance
Pour A(xA ; yA) et B(xB ; yB) :
- AB = (xB − xA ; yB − yA) ;
- le milieu I de [AB] a pour coordonnées (xA + xB2 ; yA + yB2) ;
- dans un repère orthonormé, AB = √[(xB − xA)2 + (yB − yA)2] ;
- la norme de u(x ; y) est ||u|| = √x2 + y2.
A(−2 ; 1) et B(4 ; 5).
- AB = (4 − (−2) ; 5 − 1) = (6 ; 4).
- I = (−2 + 42 ; 1 + 52) = (1 ; 3).
- AB = √62 + 42 = √52 = 2√13.
5. Caractérisation vectorielle du milieu
I est le milieu de [AB] si et seulement si AI = IB. On a aussi IA + IB = 0.
Dans un quadrilatère ABCD, si les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu I, alors IA = −IC et IB = −ID. Les diagonales se coupent en leur milieu, donc ABCD est un parallélogramme.
6. Colinéarité
Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'ils ont la même direction. Si v n'est pas nul, cela équivaut à l'existence d'un réel k tel que u = kv. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
- A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires.
- Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires.
7. Déterminant de deux vecteurs
Dans une base quelconque, pour u(x ; y) et v(x' ; y'), leur déterminant est :
det(u, v) = xy' − yx'.
u et v sont colinéaires si et seulement si det(u, v) = 0.
Si u = kv, alors x = kx' et y = ky', donc xy' − yx' = kx'y' − ky'x' = 0.
Réciproquement, supposons xy' − yx' = 0. Si x' ≠ 0, posons k = xx'. L'égalité xy' = yx' donne y = ky', donc u = kv. Si x' = 0, comme v n'est pas nul, y' ≠ 0 ; le déterminant nul impose x = 0 et on prend k = yy'.
A(1 ; 2), B(4 ; 8), C(−1 ; −2). On calcule AB(3 ; 6) et AC(−2 ; −4).
det(AB, AC) = 3 × (−4) − 6 × (−2) = −12 + 12 = 0. Les points sont alignés.
8. Résoudre un problème géométrique
- Coordonnées : pour calculer distance, milieu, alignement.
- Vecteurs sans repère : pour exploiter parallélogrammes, milieux, translations.
- Géométrie classique : pour utiliser Pythagore, Thalès, trigonométrie ou propriétés des triangles.
A(−1 ; 0), B(3 ; 1), C(5 ; 4), D(1 ; 3).
AB = (4 ; 1) et DC = (4 ; 1). Donc AB = DC : ABCD est un parallélogramme.
De plus AB = √17 et BC = √[(2)2 + 32] = √13 : les côtés consécutifs ne sont pas égaux, mais cela ne suffit pas à préciser davantage sa nature. Le produit scalaire n'étant pas au programme de Seconde, on n'utilise pas ce nouvel outil pour tester un angle droit.
- Calculer AB par A − B : c'est arrivée moins départ, donc B − A.
- Confondre coordonnées d'un point et coordonnées d'un vecteur.
- Utiliser la formule de distance dans un repère qui n'est pas orthonormé.
- Tester la colinéarité en comparant deux rapports qui comportent une division par zéro ; le déterminant évite ce problème.
- Confondre vecteurs égaux et vecteurs seulement colinéaires.