Vecteurs et géométrie repérée — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 16 points à retenir et 1 méthode. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Vecteur, représentants et égalité
Définition
Le vecteur AB décrit le déplacement du point A vers le point B. Il est caractérisé par une direction, un sens et une longueur. Plusieurs flèches peuvent représenter le même vecteur : ce sont ses représentants.
Égalité de vecteurs
AB = CD signifie que les deux déplacements ont même direction, même sens et même longueur. Cela équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme, y compris dans les cas dégénérés.
Vecteur nul et opposé
AA est le vecteur nul, noté 0. L'opposé de AB est −AB = BA.
2. Somme, relation de Chasles et produit par un réel
Relation de Chasles
Pour tous points A, B et C :
AB + BC = AC.
Somme à même origine
La somme u + v se construit par la règle du parallélogramme lorsque les deux représentants ont la même origine.
Produit par un réel
Pour un réel k, le vecteur ku :
- a la même direction que u ;
- a le même sens si k > 0, le sens opposé si k < 0 ;
- a une longueur multipliée par |k| ;
- est nul si k = 0 ou u = 0.
3. Base et coordonnées
Définition
Deux vecteurs i et j non colinéaires forment une base du plan. Tout vecteur u s'écrit de façon unique u = xi + yj. Le couple (x ; y) est celui des coordonnées de u.
Dans une base orthonormée, i et j sont perpendiculaires et de norme 1.
Calcul coordonnée par coordonnée
Si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors :
- u + v = (x + x' ; y + y') ;
- ku = (kx ; ky) ;
- u = v si et seulement si x = x' et y = y'.
4. Coordonnées d'un vecteur, milieu et distance
Formules dans un repère
Pour A(xA ; yA) et B(xB ; yB) :
- AB = (xB − xA ; yB − yA) ;
- le milieu I de [AB] a pour coordonnées (xA + xB2 ; yA + yB2) ;
- dans un repère orthonormé, AB = √[(xB − xA)2 + (yB − yA)2] ;
- la norme de u(x ; y) est ||u|| = √x2 + y2.
5. Caractérisation vectorielle du milieu
Propriété
I est le milieu de [AB] si et seulement si AI = IB. On a aussi IA + IB = 0.
6. Colinéarité
Définition
Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'ils ont la même direction. Si v n'est pas nul, cela équivaut à l'existence d'un réel k tel que u = kv. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Applications géométriques
- A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires.
- Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires.
7. Déterminant de deux vecteurs
Définition
Dans une base quelconque, pour u(x ; y) et v(x' ; y'), leur déterminant est :
det(u, v) = xy' − yx'.
Critère de colinéarité
u et v sont colinéaires si et seulement si det(u, v) = 0.
Démonstration du critère pour deux vecteurs non nuls
Si u = kv, alors x = kx' et y = ky', donc xy' − yx' = kx'y' − ky'x' = 0.
Réciproquement, supposons xy' − yx' = 0. Si x' ≠ 0, posons k = xx'. L'égalité xy' = yx' donne y = ky', donc u = kv. Si x' = 0, comme v n'est pas nul, y' ≠ 0 ; le déterminant nul impose x = 0 et on prend k = yy'.
8. Résoudre un problème géométrique
Erreurs fréquentes
- Calculer AB par A − B : c'est arrivée moins départ, donc B − A.
- Confondre coordonnées d'un point et coordonnées d'un vecteur.
- Utiliser la formule de distance dans un repère qui n'est pas orthonormé.
- Tester la colinéarité en comparant deux rapports qui comportent une division par zéro ; le déterminant évite ce problème.
- Confondre vecteurs égaux et vecteurs seulement colinéaires.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Choisir un outil adapté
- Coordonnées : pour calculer distance, milieu, alignement.
- Vecteurs sans repère : pour exploiter parallélogrammes, milieux, translations.
- Géométrie classique : pour utiliser Pythagore, Thalès, trigonométrie ou propriétés des triangles.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés