Exercices corrigés — Vecteurs et géométrie repérée (Seconde)

multiplier un vecteur par un réel multiplie chacune de ses coordonnées : 2u = (2 × (−3) ; 2 × 2) = (−6 ; 4) et 3v = (15 ; −3).
Additionner deux vecteurs revient à additionner leurs coordonnées : 2u + 3v = (−6 + 15 ; 4 + (−3)) = (9 ; 1).
De même u − v = (−3 − 5 ; 2 − (−1)) = (−8 ; 3).
Ces calculs sont valables dans n'importe quelle base. En revanche, la norme ||2u + 3v|| = √9² + 1² = √82 ne se calcule ainsi que dans une base orthonormée.

la relation de Chasles AB + BC = AC permet d'enchaîner des déplacements dont l'extrémité de l'un est l'origine du suivant.
a) AB + BC = AC, puis AC + CD = AD. L'expression vaut AD : aller de A à B, puis de B à C, puis de C à D revient à aller de A à D.
b) −CB = BC, donc l'expression s'écrit AB + BC + CD = AD, comme en a).
c) On réordonne pour enchaîner : BM + MA = BA. L'expression vaut donc BA − BA = 0. Un résultat nul signifie que la succession des déplacements ramène au point de départ. L'ordre des termes d'une somme de vecteurs peut être changé librement.

les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités : I(−4 + 22 ; 2 + (−6)2) = I(−1 ; −2).
Pour la distance, on calcule d'abord le vecteur : AB = (2 − (−4) ; −6 − 2) = (6 ; −8), coordonnées de l'arrivée moins celles du départ.
Dans un repère orthonormé, AB = ||AB|| = √6² + (−8)² = √36 + 64 = √100 = 10.
Vérification : AI = √3² + (−4)² = 5 = AB2, cohérent avec le fait que I est le milieu. Le triplet 6-8-10 est un multiple du triplet 3-4-5.

a) ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC (les sommets sont pris dans l'ordre A, B, C, D). AB = (3 − (−1) ; 4 − 2) = (4 ; 2). En notant D(x ; y), DC = (4 − x ; 1 − y).
L'égalité AB = DC donne 4 − x = 4 et 1 − y = 2, soit x = 0 et y = −1. Donc D(0 ; −1).
b) Dans un parallélogramme, les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu. Milieu de [AC] : (−1 + 42 ; 2 + 12) = (1,5 ; 1,5). Milieu de [BD] : (3 + 02 ; 4 + (−1)2) = (1,5 ; 1,5). Les deux milieux coïncident : la vérification est concluante.
Attention à l'ordre des sommets : avec AB = CD, on obtiendrait le point (8 ; 3), quatrième sommet du parallélogramme ABDC, qui n'est pas celui demandé.

deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : det(u, v) = xy' − yx'.
det(u, v) = 6 × 6 − (−9) × (−4) = 36 − 36 = 0.
Les vecteurs sont donc colinéaires. On peut expliciter le coefficient : u = kv avec 6 = −4k, soit k = −32 ; on vérifie la seconde coordonnée, −32 × 6 = −9. Ainsi u = −(32)v : les deux vecteurs ont la même direction et des sens opposés.
Le déterminant évite les divisions : comparer les rapports 6−4 et −96 fonctionne ici, mais échoue dès qu'une coordonnée est nulle.

a) AB = (2 ; 3) et AC = (5 ; −1), donc AB + AC = (7 ; 2). En notant M(x ; y), AM = (x − 1 ; y − 2) = (7 ; 2), d'où x = 8 et y = 4 : M(8 ; 4).
b) AM = AB + AC s'écrit aussi AM − AB = AC, soit BM = AC : ABMC est un parallélogramme (règle du parallélogramme pour la somme de deux vecteurs de même origine). Vérification : BM = (8 − 3 ; 4 − 5) = (5 ; −1) = AC.
c) N milieu de [BC] : N(3 + 62 ; 5 + 12) = N(4,5 ; 3). Milieu de [AM] : (1 + 82 ; 2 + 42) = (4,5 ; 3). C'est le même point : N est le milieu de [AM].
On retrouve une propriété du parallélogramme : ses diagonales [AM] et [BC] se coupent en leur milieu. Autre preuve : AN = (3,5 ; 1) et AM = (7 ; 2) = 2AN, donc A, N, M sont alignés et AN = AM2.

trois points sont alignés si et seulement si deux vecteurs qu'ils définissent, par exemple AB et AC, sont colinéaires.
AB = (5 − 1 ; 3 − 1) = (4 ; 2) et AC = (7 − 1 ; 4 − 1) = (6 ; 3).
det(AB, AC) = 4 × 3 − 2 × 6 = 12 − 12 = 0 : les vecteurs sont colinéaires, donc les points A, B et C sont alignés.
On peut préciser : AC = (32)AB, donc C est sur la demi-droite [AB), au-delà de B (le coefficient 32 est supérieur à 1). Si le déterminant avait été non nul, les trois points auraient formé un vrai triangle.

on exprime IJ en passant par le point A, grâce à la relation de Chasles : IJ = IA + AJ.
I est le milieu de [AB], donc AI = (12)AB et IA = −(12)AB. J est le milieu de [AC], donc AJ = (12)AC.
Ainsi IJ = −(12)AB + (12)AC = (12)(AC − AB). Or AC − AB = AC + BA = BA + AC = BC (Chasles). Donc IJ = (12)BC.
Conséquences : IJ et BC sont colinéaires, donc les droites (IJ) et (BC) sont parallèles ; et IJ = (12)BC, la longueur est divisée par deux. C'est le théorème de la droite des milieux, démontré ici sans repère, par le seul calcul vectoriel.