Exercices corrigés — Vecteurs et géométrie repérée (Seconde)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Application ». Voir les 8 exercices.

Exercice 3 Application

Dans un repère orthonormé, A(−4 ; 2) et B(2 ; −6). Calculer les coordonnées du milieu I de [AB] et la distance AB.

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Correction détaillée

les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités : I(−4 + 22 ; 2 + (−6)2) = I(−1 ; −2).
Pour la distance, on calcule d'abord le vecteur : AB = (2 − (−4) ; −6 − 2) = (6 ; −8), coordonnées de l'arrivée moins celles du départ.
Dans un repère orthonormé, AB = ||AB|| = √6² + (−8)² = √36 + 64 = √100 = 10.
Vérification : AI = √3² + (−4)² = 5 = AB2, cohérent avec le fait que I est le milieu. Le triplet 6-8-10 est un multiple du triplet 3-4-5.

Exercice 4 Application

A(−1 ; 2), B(3 ; 4) et C(4 ; 1). a) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. b) Vérifier avec les milieux des diagonales.

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Correction détaillée

a) ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC (les sommets sont pris dans l'ordre A, B, C, D). AB = (3 − (−1) ; 4 − 2) = (4 ; 2). En notant D(x ; y), DC = (4 − x ; 1 − y).
L'égalité AB = DC donne 4 − x = 4 et 1 − y = 2, soit x = 0 et y = −1. Donc D(0 ; −1).
b) Dans un parallélogramme, les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu. Milieu de [AC] : (−1 + 42 ; 2 + 12) = (1,5 ; 1,5). Milieu de [BD] : (3 + 02 ; 4 + (−1)2) = (1,5 ; 1,5). Les deux milieux coïncident : la vérification est concluante.
Attention à l'ordre des sommets : avec AB = CD, on obtiendrait le point (8 ; 3), quatrième sommet du parallélogramme ABDC, qui n'est pas celui demandé.

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