Exercices corrigés — Vecteurs et géométrie repérée (Seconde)

trois points sont alignés si et seulement si deux vecteurs qu'ils définissent, par exemple AB et AC, sont colinéaires.
AB = (5 − 1 ; 3 − 1) = (4 ; 2) et AC = (7 − 1 ; 4 − 1) = (6 ; 3).
det(AB, AC) = 4 × 3 − 2 × 6 = 12 − 12 = 0 : les vecteurs sont colinéaires, donc les points A, B et C sont alignés.
On peut préciser : AC = (32)AB, donc C est sur la demi-droite [AB), au-delà de B (le coefficient 32 est supérieur à 1). Si le déterminant avait été non nul, les trois points auraient formé un vrai triangle.

on exprime IJ en passant par le point A, grâce à la relation de Chasles : IJ = IA + AJ.
I est le milieu de [AB], donc AI = (12)AB et IA = −(12)AB. J est le milieu de [AC], donc AJ = (12)AC.
Ainsi IJ = −(12)AB + (12)AC = (12)(AC − AB). Or AC − AB = AC + BA = BA + AC = BC (Chasles). Donc IJ = (12)BC.
Conséquences : IJ et BC sont colinéaires, donc les droites (IJ) et (BC) sont parallèles ; et IJ = (12)BC, la longueur est divisée par deux. C'est le théorème de la droite des milieux, démontré ici sans repère, par le seul calcul vectoriel.