Exercices corrigés — Statistique descriptive à une variable (Seconde)

la moyenne est la somme divisée par l'effectif ; la somme est donc la moyenne multipliée par l'effectif.
Somme initiale : 20 × 14 = 280. Après l'ajout, la série compte 21 valeurs de moyenne 15, donc sa somme vaut 21 × 15 = 315.
La valeur ajoutée est la différence des sommes : 315 − 280 = 35.
Cohérence : 35 est très supérieur à la moyenne 14, il est normal que la moyenne ait augmenté. En général, ajouter une valeur a fait monter la moyenne si a est supérieur à la moyenne actuelle, et la fait baisser sinon ; la médiane, elle, n'aurait bougé au plus que d'un rang.

a) Ajouter 2 à chaque valeur ajoute 2 à la moyenne : la nouvelle moyenne est 11,5 + 2 = 13,5. Les écarts à la moyenne ne changent pas (chaque note et la moyenne ont augmenté de 2), donc l'écart type reste égal à 3 : la dispersion est inchangée, toute la série a simplement glissé de 2 points.
b) Convertir sur 100, c'est multiplier chaque note par 5 : la moyenne est multipliée par 5 (linéarité de la moyenne), 13,5 × 5 = 67,5. Chaque écart à la moyenne est aussi multiplié par 5, donc l'écart type est multiplié par 5 : 3 × 5 = 15.
Bilan : si l'on transforme chaque valeur x en ax + b, la moyenne devient ax + b ; l'écart type est multiplié par |a| et ne dépend pas de b.
Vérification sur un petit exemple : les notes 9 et 14 (moyenne 11,5, écarts ±2,5) deviennent 11 et 16 (écarts ±2,5 inchangés) puis 55 et 80 (écarts ±12,5, cinq fois plus grands).