Exercices corrigés — Statistique descriptive à une variable (Seconde)

effectif : la série compte N = 8 valeurs, déjà rangées dans l'ordre croissant.
Moyenne : somme des valeurs divisée par N. Somme = 4 + 7 + 7 + 8 + 9 + 12 + 15 + 18 = 80, donc x = 808 = 10.
Médiane : N = 8 est pair, on prend la moyenne des deux valeurs centrales, celles de rangs 4 et 5, soit 8 et 9 : médiane = 8 + 92 = 8,5. Au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à 8,5 et au moins la moitié supérieures ou égales.
Étendue : 18 − 4 = 14. La moyenne (10) est supérieure à la médiane (8,5) : les grandes valeurs 15 et 18 tirent la moyenne vers le haut, alors que la médiane n'en tient pas compte.

effectif total : 3 + 7 + 9 + 4 + 2 = 25. Moyenne pondérée : 0 × 3 + 1 × 7 + 2 × 9 + 3 × 4 + 4 × 225 = 0 + 7 + 18 + 12 + 825 = 4525 = 1,8 frère ou sœur en moyenne.
Effectifs cumulés croissants : 3 (valeur 0), 10 (jusqu'à 1), 19 (jusqu'à 2), 23 (jusqu'à 3), 25 (jusqu'à 4).
Médiane : N = 25 est impair, la médiane est la 13^e valeur. Les rangs 11 à 19 correspondent à la valeur 2, donc la médiane est 2.
Premier quartile : N4 = 6,25, on prend le rang 7 ; les rangs 4 à 10 correspondent à la valeur 1, donc Q₁ = 1. Troisième quartile : 3N/4 = 18,75, rang 19, qui correspond à la valeur 2, donc Q₃ = 2. Écart interquartile : Q₃ − Q₁ = 1 : la moitié centrale des élèves a 1 ou 2 frères et sœurs.

la moyenne est la somme divisée par l'effectif ; la somme est donc la moyenne multipliée par l'effectif.
Somme initiale : 20 × 14 = 280. Après l'ajout, la série compte 21 valeurs de moyenne 15, donc sa somme vaut 21 × 15 = 315.
La valeur ajoutée est la différence des sommes : 315 − 280 = 35.
Cohérence : 35 est très supérieur à la moyenne 14, il est normal que la moyenne ait augmenté. En général, ajouter une valeur a fait monter la moyenne si a est supérieur à la moyenne actuelle, et la fait baisser sinon ; la médiane, elle, n'aurait bougé au plus que d'un rang.

a) Ajouter 2 à chaque valeur ajoute 2 à la moyenne : la nouvelle moyenne est 11,5 + 2 = 13,5. Les écarts à la moyenne ne changent pas (chaque note et la moyenne ont augmenté de 2), donc l'écart type reste égal à 3 : la dispersion est inchangée, toute la série a simplement glissé de 2 points.
b) Convertir sur 100, c'est multiplier chaque note par 5 : la moyenne est multipliée par 5 (linéarité de la moyenne), 13,5 × 5 = 67,5. Chaque écart à la moyenne est aussi multiplié par 5, donc l'écart type est multiplié par 5 : 3 × 5 = 15.
Bilan : si l'on transforme chaque valeur x en ax + b, la moyenne devient ax + b ; l'écart type est multiplié par |a| et ne dépend pas de b.
Vérification sur un petit exemple : les notes 9 et 14 (moyenne 11,5, écarts ±2,5) deviennent 11 et 16 (écarts ±2,5 inchangés) puis 55 et 80 (écarts ±12,5, cinq fois plus grands).

moyenne : 2 + 4 + 4 + 64 = 164 = 4.
Écarts à la moyenne : 2 − 4 = −2 ; 4 − 4 = 0 ; 0 ; 6 − 4 = 2. Leur somme est nulle, c'est toujours le cas : on les élève au carré pour mesurer la dispersion. Carrés des écarts : 4 ; 0 ; 0 ; 4.
Variance : moyenne des carrés des écarts, 4 + 0 + 0 + 44 = 84 = 2. Écart type : σ = √2 ≈ 1,41.
L'écart type s'exprime dans la même unité que les données. Il indique que les valeurs s'écartent en moyenne d'environ 1,4 de la moyenne 4. Pour la série 0 ; 4 ; 4 ; 8, de même moyenne, on trouverait σ = √8 ≈ 2,83 : plus les valeurs sont éloignées de la moyenne, plus l'écart type est grand.

position : les deux classes ont la même moyenne, 12. La médiane de B (13) est supérieure à celle de A (12) : dans la classe B, au moins la moitié des élèves ont 13 ou plus, alors que dans A la moitié seulement atteint 12. Comme la moyenne de B est inférieure à sa médiane, quelques notes très basses tirent sa moyenne vers le bas.
Dispersion : l'étendue de B (16) est bien plus grande que celle de A (6), et son écart interquartile (7) plus du double de celui de A (3). Les notes de B sont très étalées, celles de A sont regroupées autour de 12.
Conclusion : la classe A est homogène, avec des résultats proches de 12 ; la classe B est hétérogène, avec de très bonnes notes mais aussi des notes très faibles.
Une comparaison statistique s'appuie toujours sur au moins un indicateur de position et un indicateur de dispersion : la moyenne seule aurait laissé croire que les deux classes sont équivalentes.

on revient aux sommes des notes. Première classe : 12 × 11 = 132. Seconde classe : 18 × 14 = 252. Somme totale : 132 + 252 = 384 pour 12 + 18 = 30 élèves.
Moyenne du groupe : 38430 = 12,8.
La moyenne globale n'est pas 11 + 142 = 12,5 : la classe de moyenne 14 compte plus d'élèves et pèse davantage. On calcule une moyenne pondérée par les effectifs : 12 × 11 + 18 × 1430.
Contrôle : la moyenne globale est comprise entre 11 et 14, et plus proche de 14, ce qui est cohérent avec les effectifs 12 et 18. Moyenner des moyennes n'est correct que si les groupes ont le même effectif.

a) On remplace chaque classe par son centre : 2,5 ; 7,5 ; 12,5. Effectif total N = 20. Moyenne estimée : 4 × 2,5 + 10 × 7,5 + 6 × 12,520 = 10 + 75 + 7520 = 16020 = 8.
On écrit « estimée » car on ignore les valeurs exactes à l'intérieur des classes ; la moyenne réelle est comprise entre celle obtenue avec les bornes inférieures (6,5) et celle obtenue avec les bornes supérieures (11,5).
b) Effectifs cumulés : 4, puis 14, puis 20. N2 = 10 est atteint pour la première fois dans la classe [5 ; 10[ : c'est la classe médiane.
Pour atteindre le rang 10, il faut parcourir 10 − 4 = 6 valeurs parmi les 10 de cette classe, soit 610 de son amplitude 5 : médiane estimée = 5 + (610) × 5 = 8. Ici la médiane estimée coïncide avec la moyenne estimée, ce qui traduit la symétrie approximative de la répartition.