Statistique descriptive à une variable — cours de Seconde
Vocabulaire et organisation, Moyenne et moyenne pondérée, Linéarité de la moyenne, Médiane et quartiles Lecture ≈ 5 min.
1. Vocabulaire et organisation
- La population est l'ensemble étudié ; un individu est un de ses éléments.
- Le caractère est la propriété observée. Il est quantitatif discret, quantitatif continu ou qualitatif.
- L'effectif ni d'une valeur xi est son nombre d'occurrences ; sa fréquence est fi = niN.
- La somme des effectifs vaut N et la somme des fréquences vaut 1.
2. Moyenne et moyenne pondérée
Pour des valeurs x1, ..., xp d'effectifs n1, ..., np, la moyenne est :
x̄ = n1x1 + ... + npxpN.
| Note xi | 8 | 12 | 15 | 18 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif ni | 3 | 5 | 4 | 2 |
N = 14 et x̄ = 3 × 8 + 5 × 12 + 4 × 15 + 2 × 1814 = 18014 ≈ 12,86.
3. Linéarité de la moyenne
Si on transforme chaque valeur xi en axi + b, alors la nouvelle moyenne est ax̄ + b.
Une série de températures en degrés Celsius a une moyenne de 18 °C. En Fahrenheit, F = 1,8C + 32. La moyenne devient 1,8 × 18 + 32 = 64,4 °F, sans convertir chaque valeur séparément.
4. Médiane et quartiles
- Une médiane partage une série ordonnée en deux groupes d'au moins 50 % des données.
- Le premier quartile Q1 est une valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
- Le troisième quartile Q3 est une valeur telle qu'au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
- Dans la convention scolaire française, Q1 est la valeur de rang ⌈N4⌉ et Q3 celle de rang ⌈3N/4⌉ dans la série ordonnée.
- Ordonner les N données.
- Si N est impair, la médiane est la valeur centrale ; si N est pair, on prend généralement la moyenne des deux valeurs centrales.
- Calculer les rangs des quartiles et lire les valeurs correspondantes.
Série ordonnée : 2 ; 4 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18 ; 20. N = 12.
- Médiane = 8 + 92 = 8,5.
- Rang de Q1 : 124 = 3, donc Q1 = 4.
- Rang de Q3 : 3 × 124 = 9, donc Q3 = 12.
5. Indicateurs de dispersion
- L'étendue est maximum − minimum.
- L'écart interquartile est Q3 − Q1 ; il décrit la dispersion de la moitié centrale.
- L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne :
σ = √{[n1(x1 − x̄)2 + ... + np(xp − x̄)2]/N}.
L'écart type a la même unité que les données. Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
Pour la série 8 ; 10 ; 10 ; 12, la moyenne vaut 10.
σ = √{[(8 − 10)2 + 02 + 02 + (12 − 10)2]/4} = √84 = √2 ≈ 1,41.
6. Comparer deux séries
- Moyenne et écart type : sensibles à toutes les valeurs, notamment aux valeurs extrêmes.
- Médiane et écart interquartile : plus robustes face à une valeur très éloignée.
Deux séries de même moyenne peuvent avoir des dispersions très différentes. Un commentaire statistique doit donc associer position et dispersion.
A : 9 ; 10 ; 10 ; 10 ; 11 et B : 2 ; 8 ; 10 ; 12 ; 18 ont toutes deux pour moyenne 10. La série B est nettement plus dispersée : son étendue et son écart type sont plus grands.
7. Effet de l'ajout ou du retrait d'une valeur
Si une série de N valeurs a pour moyenne x̄, sa somme vaut Nx̄. Après ajout d'une valeur a, la nouvelle moyenne est Nx̄ + aN + 1. Elle augmente si a > x̄, diminue si a < x̄.
La médiane dépend des rangs : l'ajout d'une valeur extrême peut la laisser inchangée, contrairement à la moyenne.
Cinq valeurs ont une moyenne de 12, donc leur somme vaut 60. On ajoute 24 : la nouvelle moyenne vaut 846 = 14. La valeur élevée a fait augmenter la moyenne de 2.
8. Boîte à moustaches
Une boîte à moustaches représente minimum, Q1, médiane, Q3 et maximum. La boîte, de Q1 à Q3, contient la moitié centrale des données. Elle facilite la comparaison des positions et dispersions.
9. Séries continues regroupées en classes
Pour un caractère continu, on regroupe souvent les valeurs en classes de même amplitude, par exemple [0 ; 10[, [10 ; 20[, [20 ; 30[. On perd alors le détail des valeurs à l'intérieur de chaque classe.
Si on connaît la moyenne mi et l'effectif ni de chaque classe, la moyenne globale est ∑nimiN. Si l'on suppose une répartition uniforme dans une classe, sa moyenne est prise égale à son centre.
| Temps (min) | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ |
|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 15 | 7 |
En supposant une répartition uniforme, on utilise les centres 5, 15 et 25. La moyenne estimée est 8 × 5 + 15 × 15 + 7 × 2530 = 44030 ≈ 14,67 min.
On écrit « estimée » car les valeurs exactes dans chaque classe sont inconnues.
10. Histogramme et fréquences cumulées
Pour des classes de même amplitude, un histogramme est formé de rectangles accolés dont les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs ou fréquences. Contrairement à un diagramme en barres, les rectangles se touchent car le caractère est continu.
À chaque borne supérieure de classe, on associe la fréquence cumulée des données inférieures à cette borne, puis on relie les points. La courbe est croissante de 0 à 1 (ou de 0 % à 100 %).
- Calculer les effectifs cumulés croissants.
- Repérer la classe où l'effectif cumulé atteint pour la première fois N2 : c'est la classe médiane.
- Sous l'hypothèse d'une répartition uniforme dans cette classe, interpoler linéairement.
Dans le tableau précédent, les effectifs cumulés sont 8, 23, 30. N2 = 15 : la médiane est dans [10 ; 20[.
Il faut parcourir 15 − 8 = 7 valeurs parmi les 15 de cette classe, soit 715 de son amplitude 10. Médiane estimée : 10 + (715) × 10 ≈ 14,67 min.
- Moyenner des moyennes sans tenir compte des effectifs.
- Calculer médiane et quartiles sans ordonner les données.
- Interpréter l'écart type comme un écart maximal.
- Donner comme exacte une moyenne calculée avec les centres de classes.
- Confondre histogramme continu et diagramme en barres séparées.