Statistique descriptive à une variable — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 13 points à retenir et 2 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Vocabulaire et organisation
Définitions
- La population est l'ensemble étudié ; un individu est un de ses éléments.
- Le caractère est la propriété observée. Il est quantitatif discret, quantitatif continu ou qualitatif.
- L'effectif ni d'une valeur xi est son nombre d'occurrences ; sa fréquence est fi = niN.
- La somme des effectifs vaut N et la somme des fréquences vaut 1.
2. Moyenne et moyenne pondérée
Définition
Pour des valeurs x1, ..., xp d'effectifs n1, ..., np, la moyenne est :
x̄ = n1x1 + ... + npxpN.
3. Linéarité de la moyenne
Propriété
Si on transforme chaque valeur xi en axi + b, alors la nouvelle moyenne est ax̄ + b.
4. Médiane et quartiles
Définitions et convention usuelle
- Une médiane partage une série ordonnée en deux groupes d'au moins 50 % des données.
- Le premier quartile Q1 est une valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
- Le troisième quartile Q3 est une valeur telle qu'au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
- Dans la convention scolaire française, Q1 est la valeur de rang ⌈N4⌉ et Q3 celle de rang ⌈3N/4⌉ dans la série ordonnée.
5. Indicateurs de dispersion
Définitions
- L'étendue est maximum − minimum.
- L'écart interquartile est Q3 − Q1 ; il décrit la dispersion de la moitié centrale.
- L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne :
σ = √{[n1(x1 − x̄)2 + ... + np(xp − x̄)2]/N}.
L'écart type a la même unité que les données. Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
6. Comparer deux séries
Couples d'indicateurs
- Moyenne et écart type : sensibles à toutes les valeurs, notamment aux valeurs extrêmes.
- Médiane et écart interquartile : plus robustes face à une valeur très éloignée.
Deux séries de même moyenne peuvent avoir des dispersions très différentes. Un commentaire statistique doit donc associer position et dispersion.
7. Effet de l'ajout ou du retrait d'une valeur
Influence
Si une série de N valeurs a pour moyenne x̄, sa somme vaut Nx̄. Après ajout d'une valeur a, la nouvelle moyenne est Nx̄ + aN + 1. Elle augmente si a > x̄, diminue si a < x̄.
La médiane dépend des rangs : l'ajout d'une valeur extrême peut la laisser inchangée, contrairement à la moyenne.
8. Boîte à moustaches
Lecture
Une boîte à moustaches représente minimum, Q1, médiane, Q3 et maximum. La boîte, de Q1 à Q3, contient la moitié centrale des données. Elle facilite la comparaison des positions et dispersions.
9. Séries continues regroupées en classes
Définition
Pour un caractère continu, on regroupe souvent les valeurs en classes de même amplitude, par exemple [0 ; 10[, [10 ; 20[, [20 ; 30[. On perd alors le détail des valeurs à l'intérieur de chaque classe.
Moyenne d'une série regroupée
Si on connaît la moyenne mi et l'effectif ni de chaque classe, la moyenne globale est ∑nimiN. Si l'on suppose une répartition uniforme dans une classe, sa moyenne est prise égale à son centre.
10. Histogramme et fréquences cumulées
Histogramme
Pour des classes de même amplitude, un histogramme est formé de rectangles accolés dont les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs ou fréquences. Contrairement à un diagramme en barres, les rectangles se touchent car le caractère est continu.
Polygone des fréquences cumulées
À chaque borne supérieure de classe, on associe la fréquence cumulée des données inférieures à cette borne, puis on relie les points. La courbe est croissante de 0 à 1 (ou de 0 % à 100 %).
Erreurs fréquentes
- Moyenner des moyennes sans tenir compte des effectifs.
- Calculer médiane et quartiles sans ordonner les données.
- Interpréter l'écart type comme un écart maximal.
- Donner comme exacte une moyenne calculée avec les centres de classes.
- Confondre histogramme continu et diagramme en barres séparées.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
- Ordonner les N données.
- Si N est impair, la médiane est la valeur centrale ; si N est pair, on prend généralement la moyenne des deux valeurs centrales.
- Calculer les rangs des quartiles et lire les valeurs correspondantes.
Méthode 2Classe médiane et estimation de la médiane
- Calculer les effectifs cumulés croissants.
- Repérer la classe où l'effectif cumulé atteint pour la première fois N2 : c'est la classe médiane.
- Sous l'hypothèse d'une répartition uniforme dans cette classe, interpoler linéairement.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés