Exercices corrigés — Puissances, racines carrées et calcul numérique (Seconde)

on fait apparaître dans chaque radicande le plus grand carré parfait possible, puis on utilise √ab = √a × √b pour a, b positifs.
√75 = √25 × 3 = √25 × √3 = 5√3 ; √12 = √4 × 3 = 2√3, donc 2√12 = 4√3 ; √27 = √9 × 3 = 3√3.
Tous les termes s'expriment avec √3 : E = 5√3 + 4√3 − 3√3 = (5 + 4 − 3)√3 = 6√3.
On ne peut pas additionner des racines de radicandes différents (√75 + √12 n'est pas √87) : il faut d'abord les réduire au même radical, comme on réduit des fractions au même dénominateur. Contrôle : E ≈ 8,66 + 6,93 − 5,20 = 10,39 et 6√3 ≈ 10,39.

a) √50 = √25 × 2 = 5√2 et √8 = √4 × 2 = 2√2. Donc F = 5√2 + 2√2 − 3√2 = (5 + 2 − 3)√2 = 4√2.
b) On reconnaît l'identité (a − b)(a + b) = a² − b² avec a = √5 et b = 1 : (√5 − 1)(√5 + 1) = (√5)² − 1² = 5 − 1 = 4. Le produit de deux irrationnels peut être un entier.
c) √16 + 9 = √25 = 5, alors que √16 + √9 = 4 + 3 = 7. Les deux nombres sont différents.
Conclusion : la racine carrée ne se sépare pas sur une somme, √a + b ≠ √a + √b en général. Elle se sépare seulement sur un produit ou un quotient : √16 × 9 = √16 × √9 = 12, et l'on vérifie que √144 = 12.