Puissances, racines carrées et calcul numérique — cours de Seconde
Puissances entières, Puissances de 10 et écriture scientifique, Racine carrée, Comparer des nombres Lecture ≈ 4 min.
1. Puissances entières
Pour un réel a et un entier naturel n ≥ 1, an est le produit de n facteurs égaux à a. Si a ≠ 0, a0 = 1 et, pour n ≥ 1, a−n = 1an.
| Expression | Résultat |
|---|---|
| am × an | am+n |
| aman | am−n |
| (am)n | amn |
| (ab)n | anbn |
| (ab)n | anbn |
On ne dispose d'aucune règle analogue pour une somme : en général (a + b)n ≠ an + bn.
Simplifier A = 23 × 2−52−4.
A = 23−5−(−4) = 22 = 4.
Simplifier B = (3x2)3 pour x réel : B = 33(x2)3 = 27x6.
2. Puissances de 10 et écriture scientifique
L'écriture scientifique d'un nombre décimal non nul est a × 10n, où 1 ≤ |a| < 10 et n est entier.
0,000 072 = 7,2 × 10−5 et 38 500 000 = 3,85 × 107.
Calculer C = (6 × 107)(4 × 10−3) :
C = 24 × 104 = 2,4 × 105. La dernière transformation est nécessaire pour obtenir une écriture scientifique.
3. Racine carrée
Pour tout réel a ≥ 0, √a est l'unique réel positif dont le carré vaut a. Ainsi (√a)2 = a.
- Pour tout réel x, √x2 = |x|. En particulier, si x ≥ 0, √x2 = x ; si x < 0, le résultat est −x.
- Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, √ab = √a × √b.
- Pour a ≥ 0 et b > 0, √ab = √a√b.
- Il n'existe pas de règle de séparation d'une somme : en général √a + b ≠ √a + √b.
Pour a, b ≥ 0, le nombre √a√b est positif. Son carré vaut (√a√b)2 = (√a)2(√b)2 = ab. C'est donc l'unique nombre positif dont le carré vaut ab : il est égal à √ab.
Faire apparaître le plus grand facteur carré parfait possible.
√180 = √36 × 5 = √36 × √5 = 6√5.
3√20 − 2√45 = 3 × 2√5 − 2 × 3√5 = 6√5 − 6√5 = 0.
Attention : √(−7)2 = |−7| = 7, et non −7.
4. Comparer des nombres
- Comparaison additive : étudier le signe de A − B. Si A − B ≥ 0, alors A ≥ B.
- Comparaison multiplicative : si A et B sont strictement positifs, comparer AB à 1. Si AB ≥ 1, alors A ≥ B.
- Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
Comparer √13 et 185. Ces deux nombres sont positifs. Leurs carrés sont 13 et 32425 = 12,96. Comme 13 > 12,96, on a √13 > 185.
Comparer x2 + 1 et 2x : leur différence est x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 ≥ 0. Donc x2 + 1 ≥ 2x pour tout réel x.
5. Ordres de grandeur et cohérence
- Estimer avant le calcul.
- Vérifier le signe, l'unité et la taille du résultat.
- Conserver les valeurs exactes pendant le calcul et arrondir seulement à la fin.
Une voiture parcourt 327 km en 3 h 42 min. Comme 3 h 42 min = 3,7 h, sa vitesse moyenne est 3273,7 ≈ 88,4 km/h. Un résultat de 883 km/h signalerait une erreur de virgule.
- am + an ne se simplifie pas en am+n : cette règle concerne le produit.
- (−3)2 = 9, tandis que −32 = −9 car la puissance porte seulement sur 3.
- √a2 = |a|, pas toujours a.
- √a + b ne se sépare pas. Par exemple √9 + 16 = 5, mais √9 + √16 = 7.