Exercices corrigés — Puissances, racines carrées et calcul numérique (Seconde)

a) (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8 : un produit de trois facteurs négatifs est négatif.
b) −2⁴ = −(2⁴) = −16 : sans parenthèses, la puissance porte sur 2 seulement, le signe moins s'applique ensuite. À comparer avec (−2)⁴ = 16.
c) (−3)⁻² = 1−3² = 19 : l'exposant négatif désigne l'inverse de la puissance positive, et le carré de −3 vaut 9.
d) 2⁻³ × 2⁵ = 2⁻³⁺⁵ = 2² = 4 : même base, on additionne les exposants.
e) (10²)³ = 10⁶, puis 10⁶10⁴ = 10² = 100 : puissance de puissance, on multiplie les exposants ; quotient, on les soustrait.

on commence par l'intérieur de la parenthèse : même base 5, on additionne les exposants, 5⁻² × 5⁷ = 5⁻²⁺⁷ = 5⁵.
Puissance d'une puissance, on multiplie les exposants : (5⁵)² = 5¹⁰.
Quotient de même base, on soustrait les exposants : D = 5¹⁰5⁸ = 5¹⁰⁻⁸ = 5² = 25.
Le résultat est un entier alors que l'expression contenait un exposant négatif : cela n'a rien d'anormal. Contrôle d'ordre de grandeur : 5¹⁰ ≈ 9,8 × 10⁶ et 5⁸ = 390 625, dont le quotient est bien 25.

on regroupe les nombres décimaux d'une part et les puissances de 10 d'autre part : (1,5 × 8) × (10⁻⁴ × 10⁶) = 12 × 10⁻⁴⁺⁶ = 12 × 10².
Ce n'est pas encore une écriture scientifique, car 12 n'est pas compris entre 1 et 10. On écrit 12 = 1,2 × 10, donc 12 × 10² = 1,2 × 10¹ × 10² = 1,2 × 10³.
Le résultat est 1,2 × 10³, soit 1 200.
Vérification en écriture décimale : 1,5 × 10⁻⁴ = 0,000 15 et 8 × 10⁶ = 8 000 000 ; leur produit vaut 0,000 15 × 8 000 000 = 1 200.

a) 0,0025 = 2,5 × 10⁻³, donc 0,0025 × 10⁴ = 2,5 × 10⁻³ × 10⁴ = 2,5 × 10¹ = 25. Pour 385 000, on place la virgule après le premier chiffre non nul : 3,85, décalée de 5 rangs, donc 385 000 = 3,85 × 10⁵.
b) On sépare les décimaux et les puissances de 10 : (36) × 10⁻²⁻⁵ = 0,5 × 10⁻⁷.
0,5 n'est pas compris entre 1 et 10 : on écrit 0,5 = 5 × 10⁻¹, d'où 0,5 × 10⁻⁷ = 5 × 10⁻⁸.
Le résultat est 5 × 10⁻⁸, un nombre très petit (0,000 000 05). Contrôle : diviser un nombre de l'ordre de 10⁻² par un nombre de l'ordre de 10⁵ donne un ordre de grandeur 10⁻⁷, cohérent avec 5 × 10⁻⁸ = 0,5 × 10⁻⁷.

on fait apparaître dans chaque radicande le plus grand carré parfait possible, puis on utilise √ab = √a × √b pour a, b positifs.
√75 = √25 × 3 = √25 × √3 = 5√3 ; √12 = √4 × 3 = 2√3, donc 2√12 = 4√3 ; √27 = √9 × 3 = 3√3.
Tous les termes s'expriment avec √3 : E = 5√3 + 4√3 − 3√3 = (5 + 4 − 3)√3 = 6√3.
On ne peut pas additionner des racines de radicandes différents (√75 + √12 n'est pas √87) : il faut d'abord les réduire au même radical, comme on réduit des fractions au même dénominateur. Contrôle : E ≈ 8,66 + 6,93 − 5,20 = 10,39 et 6√3 ≈ 10,39.

a) √50 = √25 × 2 = 5√2 et √8 = √4 × 2 = 2√2. Donc F = 5√2 + 2√2 − 3√2 = (5 + 2 − 3)√2 = 4√2.
b) On reconnaît l'identité (a − b)(a + b) = a² − b² avec a = √5 et b = 1 : (√5 − 1)(√5 + 1) = (√5)² − 1² = 5 − 1 = 4. Le produit de deux irrationnels peut être un entier.
c) √16 + 9 = √25 = 5, alors que √16 + √9 = 4 + 3 = 7. Les deux nombres sont différents.
Conclusion : la racine carrée ne se sépare pas sur une somme, √a + b ≠ √a + √b en général. Elle se sépare seulement sur un produit ou un quotient : √16 × 9 = √16 × √9 = 12, et l'on vérifie que √144 = 12.

a) Les réels dont le carré vaut 11 sont √11 et son opposé −√11, car (√11)² = 11 et (−√11)² = 11. L'équation a deux solutions : √11 et −√11 (valeurs exactes ; √11 ≈ 3,32). Justification : x² − 11 = (x − √11)(x + √11), produit nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
b) Un carré de réel est toujours positif ou nul : aucun réel ne vérifie x² = −4. L'équation n'a pas de solution dans ℝ.
c) 3x² − 27 = 0 équivaut à 3x² = 27, soit x² = 9, donc x = 3 ou x = −3. Deux solutions : 3 et −3.
Règle : pour a > 0, x² = a a exactement deux solutions, √a et −√a ; pour a = 0, une seule, 0 ; pour a < 0, aucune. Oublier la solution négative est l'erreur la plus fréquente.

a) Les deux nombres sont positifs, ils sont donc rangés dans le même ordre que leurs carrés : (5√2)² = 25 × 2 = 50 et 7² = 49. Comme 50 > 49, on a 5√2 > 7. (Valeur approchée de contrôle : 5√2 ≈ 7,07.)
b) On étudie le signe de la différence, en réduisant au dénominateur commun 126 : 79 − 1114 = 98126 − 99126 = −1126 < 0. Donc 79 < 1114. On peut aussi comparer les produits en croix : 7 × 14 = 98 et 11 × 9 = 99.
c) La différence x² + 4 − 4x = x² − 4x + 4 = (x − 2)² est un carré, donc positive ou nulle pour tout réel x. Ainsi x² + 4 ≥ 4x, avec égalité seulement pour x = 2.
Méthode générale : pour comparer A et B, on étudie le signe de A − B ; pour des nombres positifs, on peut aussi comparer AB à 1 ou comparer les carrés.