Puissances, racines carrées et calcul numérique — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Puissances entières
Définition
Pour un réel a et un entier naturel n ≥ 1, an est le produit de n facteurs égaux à a. Si a ≠ 0, a0 = 1 et, pour n ≥ 1, a−n = 1an.
Règles de calcul
| Expression | Résultat |
|---|---|
| am × an | am+n |
| aman | am−n |
| (am)n | amn |
| (ab)n | anbn |
| (ab)n | anbn |
On ne dispose d'aucune règle analogue pour une somme : en général (a + b)n ≠ an + bn.
2. Puissances de 10 et écriture scientifique
Définition
L'écriture scientifique d'un nombre décimal non nul est a × 10n, où 1 ≤ |a| < 10 et n est entier.
3. Racine carrée
Définition
Pour tout réel a ≥ 0, √a est l'unique réel positif dont le carré vaut a. Ainsi (√a)2 = a.
Propriétés
- Pour tout réel x, √x2 = |x|. En particulier, si x ≥ 0, √x2 = x ; si x < 0, le résultat est −x.
- Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, √ab = √a × √b.
- Pour a ≥ 0 et b > 0, √ab = √a√b.
- Il n'existe pas de règle de séparation d'une somme : en général √a + b ≠ √a + √b.
Démonstration exigible de √(ab) = √a√b
Pour a, b ≥ 0, le nombre √a√b est positif. Son carré vaut (√a√b)2 = (√a)2(√b)2 = ab. C'est donc l'unique nombre positif dont le carré vaut ab : il est égal à √ab.
5. Ordres de grandeur et cohérence
Erreurs fréquentes
- am + an ne se simplifie pas en am+n : cette règle concerne le produit.
- (−3)2 = 9, tandis que −32 = −9 car la puissance porte seulement sur 3.
- √a2 = |a|, pas toujours a.
- √a + b ne se sépare pas. Par exemple √9 + 16 = 5, mais √9 + √16 = 7.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Méthode : simplifier une racine
Faire apparaître le plus grand facteur carré parfait possible.
Méthode 2
- Comparaison additive : étudier le signe de A − B. Si A − B ≥ 0, alors A ≥ B.
- Comparaison multiplicative : si A et B sont strictement positifs, comparer AB à 1. Si AB ≥ 1, alors A ≥ B.
- Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
Méthode 3Méthode de contrôle
- Estimer avant le calcul.
- Vérifier le signe, l'unité et la taille du résultat.
- Conserver les valeurs exactes pendant le calcul et arrondir seulement à la fin.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés