Exercices corrigés — Puissances, racines carrées et calcul numérique (Seconde)

a) Les réels dont le carré vaut 11 sont √11 et son opposé −√11, car (√11)² = 11 et (−√11)² = 11. L'équation a deux solutions : √11 et −√11 (valeurs exactes ; √11 ≈ 3,32). Justification : x² − 11 = (x − √11)(x + √11), produit nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
b) Un carré de réel est toujours positif ou nul : aucun réel ne vérifie x² = −4. L'équation n'a pas de solution dans ℝ.
c) 3x² − 27 = 0 équivaut à 3x² = 27, soit x² = 9, donc x = 3 ou x = −3. Deux solutions : 3 et −3.
Règle : pour a > 0, x² = a a exactement deux solutions, √a et −√a ; pour a = 0, une seule, 0 ; pour a < 0, aucune. Oublier la solution négative est l'erreur la plus fréquente.

a) Les deux nombres sont positifs, ils sont donc rangés dans le même ordre que leurs carrés : (5√2)² = 25 × 2 = 50 et 7² = 49. Comme 50 > 49, on a 5√2 > 7. (Valeur approchée de contrôle : 5√2 ≈ 7,07.)
b) On étudie le signe de la différence, en réduisant au dénominateur commun 126 : 79 − 1114 = 98126 − 99126 = −1126 < 0. Donc 79 < 1114. On peut aussi comparer les produits en croix : 7 × 14 = 98 et 11 × 9 = 99.
c) La différence x² + 4 − 4x = x² − 4x + 4 = (x − 2)² est un carré, donc positive ou nulle pour tout réel x. Ainsi x² + 4 ≥ 4x, avec égalité seulement pour x = 2.
Méthode générale : pour comparer A et B, on étudie le signe de A − B ; pour des nombres positifs, on peut aussi comparer AB à 1 ou comparer les carrés.