Exercices corrigés — Proportions et évolutions (Seconde)

a) partie = proportion × total : 0,36 × 250 = 90 membres ont moins de 18 ans.
b) proportion = partie / total : 84250 = 0,336, soit 33,6 % de femmes.
c) 0,18 × 250 = 45 membres dans la section natation.
d) total = partie / proportion : 450,18 = 250 membres. Vérification : 18 % de 250 font bien 45. Les trois relations n = pN, p = nN et N = np sont la même égalité lue de trois façons ; il faut identifier à chaque fois ce qui est le total, la partie et la proportion.

les deux pourcentages n'ont pas la même référence : 55 % se rapporte à l'ensemble des habitants, 8 % se rapporte aux seuls actifs. On ne peut ni les additionner ni comparer directement.
Si A représente la proportion p de E et B la proportion q de A, alors B représente la proportion p × q de E : 0,55 × 0,08 = 0,044.
Les cyclistes quotidiens actifs représentent 4,4 % des habitants de la ville.
Contrôle avec un effectif : sur 10 000 habitants, il y a 5 500 actifs, dont 8 % font 440 cyclistes, et 44010 000 = 4,4 %. Raisonner sur un effectif fictif est un bon moyen de vérifier un calcul de pourcentages.

variation absolue : valeur finale moins valeur initiale, 280 − 320 = −40. Le signe négatif traduit une baisse de 40 unités.
Coefficient multiplicateur : CM = 280320 = 0,875. Multiplier 320 par 0,875 redonne 280.
Taux d'évolution : t = CM − 1 = 0,875 − 1 = −0,125, soit −12,5 %. On peut aussi calculer t = 280 − 320320 = −40320 = −0,125.
La valeur a baissé de 12,5 %. Attention à diviser par la valeur initiale 320 et non par la valeur finale : −40280 ≈ −14,3 % serait le taux de l'évolution inverse, de 280 vers 320, en valeur absolue.

a) De 2010 à 2015 : CM₁ = 13 25012 500 = 1,06, soit une hausse de 6 %. De 2015 à 2020 : CM₂ = 12 19013 250 = 0,92, soit une baisse de 8 %.
b) Première façon, directement : CM_global = 12 19012 500 = 0,9752, donc le taux global est 0,9752 − 1 = −0,0248, une baisse de 2,48 %.
Seconde façon, par les coefficients : CM_global = CM₁ × CM₂ = 1,06 × 0,92 = 0,9752. On retrouve la même valeur.
Les taux ne s'additionnent pas : +6 % puis −8 % ne donnent pas −2 % mais −2,48 %, car la baisse de 8 % porte sur une population plus grande (13 250) que celle sur laquelle portait la hausse (12 500).

augmenter de 6 %, c'est multiplier par 1 + 0,06 = 1,06. Deux hausses successives se traduisent par le produit des coefficients : CM_global = 1,06 × 1,06 = 1,06² = 1,1236.
Le taux global est 1,1236 − 1 = 0,1236, soit une hausse de 12,36 %.
Ce n'est pas 12 % : la seconde hausse de 6 % s'applique à un prix déjà augmenté, et porte donc sur 6 % de plus. La différence, 0,36 %, vaut 6 % de 6 %.
Exemple : un abonnement de 100 € passe à 106 €, puis à 106 × 1,06 = 112,36 €. Sur n années au même taux, le coefficient serait 1,06ⁿ.

a) L'indice 112 en 2020 signifie que le prix de 2020 vaut 112 % du prix de 2015 : il a augmenté de 12 % entre 2015 et 2020. De même, entre 2015 et 2024, la hausse est de 26 %.
Entre 2020 et 2024, le coefficient multiplicateur est le rapport des indices : 126112 = 1,125, soit une hausse de 12,5 %. Ce n'est pas 26 − 12 = 14 % : la différence des indices est en points de la base 2015, pas un taux par rapport à 2020.
b) Le taux passe de 8 % à 10 % : il a augmenté de 2 points de pourcentage (10 − 8). En pourcentage relatif, la hausse vaut 10 − 88 = 0,25, soit 25 % : le nombre de chômeurs a augmenté d'un quart.
« Augmenter de 2 points » et « augmenter de 25 % » décrivent la même évolution ; « augmenter de 2 % » serait faux (le taux passerait de 8 % à 8,16 %).

une remise de 30 % multiplie le prix par 1 − 0,30 = 0,70. Pour revenir au prix initial, il faut multiplier le prix remisé par le coefficient réciproque 10,70 ≈ 1,4286.
Le taux réciproque est donc 1,4286 − 1 ≈ 0,4286 : une hausse d'environ 42,86 % du prix remisé, et non de 30 %.
Exemple : un article de 100 € remisé de 30 % coûte 70 € ; pour revenir à 100 €, il faut ajouter 30 €, ce qui représente 3070 ≈ 42,86 % de 70 €. Le même écart de 30 € pèse plus lourd par rapport au petit prix.
Une hausse de 30 % ne suffirait pas : 70 × 1,30 = 91 €. Une hausse et une baisse de même taux ne se compensent jamais (sauf pour un taux nul).

la remise de 12 % multiplie par 1 − 0,12 = 0,88 ; la taxe de 20 % multiplie par 1 + 0,20 = 1,20. Prix après remise : 150 × 0,88 = 132 €. Prix final : 132 × 1,20 = 158,40 €.
Coefficient multiplicateur global : 0,88 × 1,20 = 1,056. Le taux global est 1,056 − 1 = 0,056, soit une hausse de 5,6 % par rapport au prix hors taxe initial.
Vérification : 150 × 1,056 = 158,40 €. Additionner les taux aurait donné −12 % + 20 % = +8 %, ce qui est faux : la taxe porte sur le prix remisé, plus petit.
Remarque : l'ordre des deux opérations n'a pas d'influence sur le résultat, car 0,88 × 1,20 = 1,20 × 0,88 ; la multiplication est commutative.