Proportions et évolutions — cours de Seconde
Proportion, fréquence et pourcentage, Proportion de proportion, Variation absolue et variation relative, Évolutions successives Lecture ≈ 4 min.
1. Proportion, fréquence et pourcentage
Dans une population de référence d'effectif N, une sous-population d'effectif n représente la proportion p = nN. On peut exprimer p sous forme fractionnaire, décimale ou en pourcentage : t % signifie t100.
- partie = proportion × total, soit n = pN ;
- proportion = partie / total, soit p = nN ;
- total = partie / proportion, soit N = np si p ≠ 0.
Dans un lycée de 1 250 élèves, 42 % sont en Seconde. L'effectif de Seconde vaut 0,42 × 1 250 = 525 élèves.
Inversement, si 315 de ces 525 élèves pratiquent une activité sportive, leur proportion est 315525 = 0,60 = 60 %.
2. Proportion de proportion
Si A représente la proportion p de E et si B représente la proportion q de A, alors B représente la proportion p × q de E.
Dans une entreprise, 40 % des salariés travaillent à distance. Parmi eux, 30 % le font au moins trois jours par semaine. La proportion de tous les salariés concernés est 0,40 × 0,30 = 0,12, soit 12 %.
Dire « 40 % + 30 % = 70 % » serait faux : les pourcentages n'ont pas le même ensemble de référence.
3. Variation absolue et variation relative
Une grandeur passe d'une valeur initiale V1 non nulle à une valeur finale V2.
- La variation absolue est V2 − V1. Elle s'exprime dans l'unité de la grandeur.
- Le coefficient multiplicateur est CM = V2V1.
- La variation relative, ou taux d'évolution, est t = V2 − V1V1 = CM − 1.
- Si t > 0, avec t écrit en décimal, augmenter de t revient à multiplier par 1 + t et diminuer de t revient à multiplier par 1 − t.
- Avec le taux d'évolution signé t défini ci-dessus, on a dans tous les cas V2 = V1(1 + t).
Un prix passe de 80 € à 92 €.
- Variation absolue : 92 − 80 = 12 €.
- Coefficient multiplicateur : 9280 = 1,15.
- Taux : 1,15 − 1 = 0,15 = 15 %.
Le prix a augmenté de 12 €, soit de 15 %.
4. Évolutions successives
Les coefficients multiplicateurs d'évolutions successives se multiplient. Si les taux sont t1 et t2, alors :
CMglobal = (1 + t1)(1 + t2) et tglobal = CMglobal − 1.
Une quantité augmente de 20 %, puis diminue de 10 %.
CMglobal = 1,20 × 0,90 = 1,08. Le taux global est 1,08 − 1 = 0,08 : augmentation globale de 8 %.
Les taux ne s'additionnent pas ici : 20 % − 10 % ne donne pas le bon résultat, car la seconde évolution porte sur une nouvelle référence.
5. Évolution réciproque
L'évolution réciproque ramène de V2 à V1. Son coefficient multiplicateur est l'inverse du coefficient initial :
CMréciproque = 1CM.
Après une hausse de 25 %, le coefficient est 1,25. Pour revenir au prix initial, le coefficient est 11,25 = 0,8, soit une baisse de 20 %. Une baisse de 25 % ne conviendrait pas.
6. Application : indices base 100
L'indice base 100 est une application immédiate des proportions et coefficients multiplicateurs, utile pour lire des données économiques. Il n'est pas présenté comme un contenu autonome à mémoriser au-delà de ces règles.
Fixer une valeur de référence à l'indice 100 permet de comparer les autres valeurs. Si V0 est la base, l'indice associé à V est I = 100 × VV0.
Une production passe de 240 unités (base 100) à 300. Son indice vaut 100 × 300240 = 125. Cela traduit une hausse de 25 % par rapport à la base.
7. Distinguer proportion et évolution
« 18 % des foyers » décrit une proportion dans une population à un instant. « Le nombre de foyers augmente de 18 % » décrit une évolution entre deux instants. Les calculs et les ensembles de référence ne sont pas les mêmes.
- Additionner des pourcentages successifs au lieu de multiplier les coefficients.
- Diviser la variation par la valeur finale : le taux se rapporte à la valeur initiale.
- Penser qu'une hausse et une baisse de même taux s'annulent.
- Confondre une baisse de 20 points de pourcentage avec une baisse de 20 %.