Exercices corrigés — Probabilités conditionnelles et arbres (Seconde)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Maîtrise ». Voir les 8 exercices.

Exercice 5 Maîtrise

On sait que P(A) = 0,4 et P_A(B) = 0,7. Calculer P(A ∩ B), P_A(B) et P(A ∩ B).

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Correction détaillée

la définition P_A(B) = P(A ∩ B)P(A) se réécrit P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) = 0,4 × 0,7 = 0,28. Sur un arbre, c'est le produit des pondérations du chemin « A puis B ».
Sachant A, les événements B et B sont contraires : P_A(B) = 1 − P_A(B) = 1 − 0,7 = 0,3. Sur l'arbre, les deux branches issues du nœud A totalisent 1.
P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) = 0,4 × 0,3 = 0,12.
Vérification : P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = 0,28 + 0,12 = 0,4 = P(A), ce qui est normal : réaliser A, c'est réaliser « A et B » ou « A et non B ». Sans information sur P_A(B), on ne peut pas calculer P(B).

Exercice 6 Maîtrise

On lance une pièce équilibrée. Si elle donne pile, on tire une boule dans un sac contenant 3 boules rouges et 2 vertes ; si elle donne face, on tire dans un sac contenant 1 boule rouge et 4 vertes. On note S₁ « on tire dans le premier sac » et R « la boule est rouge ». a) Construire l'arbre pondéré. b) Calculer P(S₁ ∩ R) et P(R). c) La boule tirée est rouge : quelle est la probabilité qu'elle vienne du premier sac ?

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Correction détaillée

a) Premier niveau : S₁ (pile) avec 0,5 et S₂ (face) avec 0,5. Second niveau, depuis S₁ : R avec 35 = 0,6 et V avec 0,4 ; depuis S₂ : R avec 15 = 0,2 et V avec 0,8. À chaque nœud, les pondérations totalisent 1.
b) Probabilité d'un chemin = produit des pondérations : P(S₁ ∩ R) = 0,5 × 0,6 = 0,3 et P(S₂ ∩ R) = 0,5 × 0,2 = 0,1. L'événement R est réalisé par ces deux chemins, incompatibles : P(R) = 0,3 + 0,1 = 0,4.
c) P_R(S₁) = P(S₁ ∩ R)P(R) = 0,30,4 = 0,75.
Interprétation : avant le tirage, chaque sac avait une chance sur deux ; savoir que la boule est rouge rend le premier sac trois fois plus probable que le second, car il contient beaucoup plus de rouges. Cette probabilité « à rebours » se lit en remontant l'arbre.

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