Probabilités conditionnelles et arbres — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 12 points à retenir. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Univers, issues et événements
Définitions
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles sans pouvoir prévoir celui qui se réalisera.
- Une issue est un résultat possible ; l'univers Ω est l'ensemble des issues.
- Un événement A est un sous-ensemble de Ω. Il est réalisé si l'issue obtenue appartient à A.
- L'événement contraire de A est Ā = Ω \ A.
- A ∩ B signifie « A et B » ; A ∪ B signifie « A ou B ».
2. Loi de probabilité
Définition
Une loi de probabilité sur un univers fini associe à chaque issue ωi un nombre pi compris entre 0 et 1, la somme de toutes les probabilités valant 1. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent.
Règles
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(∅) = 0 ; P(Ω) = 1.
- P(Ā) = 1 − P(A).
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- Si A et B sont incompatibles, P(A ∩ B) = 0 et P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Équiprobabilité
Si toutes les issues ont la même probabilité :
P(A) = Card(A)/Card(Ω).
L'équiprobabilité est une hypothèse du modèle, souvent justifiée par les mots « équilibré », « au hasard » ou « bien mélangé » ; ce n'est pas un résultat automatique.
3. Probabilité conditionnelle
Définition
Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant A, notée PA(B), est :
PA(B) = P(A ∩ B)P(A).
Le fait de savoir que A est réalisé réduit l'univers de référence à A.
4. Lien avec un tableau croisé
Tirage équiprobable dans une population
Si l'on choisit au hasard un individu dans une population finie :
P(A) = Card(A)/Card(Ω) et PB(A) = Card(A ∩ B)/Card(B).
Une fréquence conditionnelle observée dans un tableau devient une probabilité conditionnelle dans le modèle du tirage équiprobable.
5. Arbre pondéré
Définition
Un arbre pondéré représente des choix ou informations successifs. Les branches du premier niveau portent des probabilités simples ; les branches suivantes portent des probabilités conditionnelles.
Règles d'un arbre
- La somme des pondérations issues d'un même nœud vaut 1.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.
- En particulier P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
Limite explicite du programme 2026
Savoir lire et construire un arbre, interpréter les probabilités conditionnelles et calculer la probabilité d'un chemin est exigible. En revanche, calculer systématiquement la probabilité d'un événement à partir de ses probabilités conditionnelles relatives à une partition (formule générale des probabilités totales) n'est pas un attendu du programme de Seconde. Une activité guidée peut le faire apparaître, mais elle doit être signalée comme approfondissement.
6. Traduire du français au symbolique
| Phrase | Écriture |
|---|---|
| probabilité de B sachant A | PA(B) |
| A et B | P(A ∩ B) |
| A ou B | P(A ∪ B) |
| ni A ni B | P(Ā ∩ B̄) |
| A mais pas B | P(A ∩ B̄) |
7. Faux positifs et faux négatifs
Vocabulaire
- Un faux positif est un résultat positif chez un individu ne présentant pas la propriété recherchée.
- Un faux négatif est un résultat négatif chez un individu présentant la propriété.
- La fréquence des faux positifs parmi les non-porteurs n'est pas la fréquence des non-porteurs parmi les résultats positifs.
Erreurs fréquentes
- Confondre PA(B) et PB(A).
- Ajouter les probabilités le long d'un chemin : on les multiplie.
- Oublier que les branches issues d'un même nœud totalisent 1.
- Supposer l'équiprobabilité sans justification.
- Présenter la formule générale des probabilités totales comme un attendu de Seconde 2026.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés