Exercices corrigés — Probabilités conditionnelles et arbres (Seconde)

le tirage au hasard justifie l'équiprobabilité : chaque carte a la probabilité 132, et la probabilité d'un événement est le quotient du nombre de cartes favorables par 32.
Il y a 8 cœurs : P(A) = 832 = 14. Il y a 3 figures par couleur, donc 12 figures : P(B) = 1232 = 38. Les figures de cœur sont au nombre de 3 : P(A ∩ B) = 332.
P_A(B) = P(A ∩ B)P(A) = (332)/(832) = 38. Lecture directe : parmi les huit cœurs, trois sont des figures.
On remarque que P_A(B) = P(B) = 38 : savoir que la carte est un cœur ne change pas la probabilité d'avoir une figure, car chaque couleur contient la même proportion de figures. En revanche P_B(A) = (332)/(1232) = 14 : parmi les figures, un quart sont des cœurs.

a) Le dé est équilibré : chaque face a la probabilité 16. A = {2 ; 4 ; 6}, donc P(A) = 36 = 12. C = {3 ; 6}, donc P(C) = 26 = 13. A ∩ C = {6}, donc P(A ∩ C) = 16.
b) P(A ∪ C) = P(A) + P(C) − P(A ∩ C) = 12 + 13 − 16 = 36 + 26 − 16 = 46 = 23. Vérification : A ∪ C = {2 ; 3 ; 4 ; 6} a bien 4 issues sur 6. Le 6 ne doit être compté qu'une fois, d'où la soustraction. P(A) = 1 − P(A) = 12 : les faces impaires.
c) P_C(A) = P(A ∩ C)P(C) = (16)/(13) = 12. Parmi les multiples de 3 (3 et 6), un sur deux est pair.
Ici P_C(A) = P(A) : savoir que le résultat est un multiple de 3 ne modifie pas la probabilité qu'il soit pair. Ce n'est pas toujours le cas : avec B = « au moins 4 », P_B(A) = 23 ≠ 12.

un faux positif est une personne non malade dont le test est positif : 45 personnes sur 1 000, soit P(M ∩ T) = 451 000 = 0,045, c'est-à-dire 4,5 %.
Un faux négatif est une personne malade dont le test est négatif : 100 − 90 = 10 personnes, soit P(M ∩ T) = 101 000 = 0,01, c'est-à-dire 1 %.
Personne malade sachant que le test est positif : les tests positifs sont au nombre de 90 + 45 = 135, dont 90 malades. P_T(M) = 90135 = 23 ≈ 66,7 %.
Bien que le test détecte 90 % des malades (P_M(T) = 90100), un tiers des tests positifs concernent des personnes non malades : comme la maladie est rare (10 %), les 5 % de faux positifs parmi les 900 personnes saines pèsent lourd. Les deux probabilités conditionnelles P_M(T) et P_T(M) répondent à des questions différentes.

le choix au hasard rend les 120 élèves équiprobables : chaque probabilité est un quotient d'effectifs par 120, ou par l'effectif de la sous-population pour une probabilité conditionnelle.
P(F) = 70120 = 712 ≈ 0,583. Les demi-pensionnaires sont 30 + 15 = 45 : P(D) = 45120 = 38 = 0,375. P(F ∩ D) = 30120 = 14 = 0,25.
P_F(D) = P(F ∩ D)P(F) = (30120)/(70120) = 3070 = 37 ≈ 0,429 : parmi les filles, environ 43 % sont demi-pensionnaires. P_D(F) = 3045 = 23 : parmi les demi-pensionnaires, deux tiers sont des filles.
Une fréquence conditionnelle lue dans un tableau croisé devient une probabilité conditionnelle dès que l'on tire un individu au hasard. On peut vérifier la formule du produit : P(F) × P_F(D) = 712 × 37 = 312 = 14 = P(F ∩ D).

la définition P_A(B) = P(A ∩ B)P(A) se réécrit P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) = 0,4 × 0,7 = 0,28. Sur un arbre, c'est le produit des pondérations du chemin « A puis B ».
Sachant A, les événements B et B sont contraires : P_A(B) = 1 − P_A(B) = 1 − 0,7 = 0,3. Sur l'arbre, les deux branches issues du nœud A totalisent 1.
P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) = 0,4 × 0,3 = 0,12.
Vérification : P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = 0,28 + 0,12 = 0,4 = P(A), ce qui est normal : réaliser A, c'est réaliser « A et B » ou « A et non B ». Sans information sur P_A(B), on ne peut pas calculer P(B).

a) Premier niveau : S₁ (pile) avec 0,5 et S₂ (face) avec 0,5. Second niveau, depuis S₁ : R avec 35 = 0,6 et V avec 0,4 ; depuis S₂ : R avec 15 = 0,2 et V avec 0,8. À chaque nœud, les pondérations totalisent 1.
b) Probabilité d'un chemin = produit des pondérations : P(S₁ ∩ R) = 0,5 × 0,6 = 0,3 et P(S₂ ∩ R) = 0,5 × 0,2 = 0,1. L'événement R est réalisé par ces deux chemins, incompatibles : P(R) = 0,3 + 0,1 = 0,4.
c) P_R(S₁) = P(S₁ ∩ R)P(R) = 0,30,4 = 0,75.
Interprétation : avant le tirage, chaque sac avait une chance sur deux ; savoir que la boule est rouge rend le premier sac trois fois plus probable que le second, car il contient beaucoup plus de rouges. Cette probabilité « à rebours » se lit en remontant l'arbre.

P(T) = 96240 = 0,4 : deux adultes sur cinq utilisent le train.
P_T(S) = 6096 = 0,625 : parmi les usagers du train, 62,5 % voyagent chaque semaine. Le dénominateur est 96, effectif de la sous-population « usagers du train ».
P(T ∩ S) de façon directe : 60 adultes sur 240 sont des usagers hebdomadaires, 60240 = 0,25. Par la formule du produit : P(T) × P_T(S) = 0,4 × 0,625 = 0,25. Les deux calculs concordent.
Sur un arbre, le chemin « T puis S » porte les pondérations 0,4 puis 0,625, et leur produit 0,25 est la probabilité du chemin. L'événement S n'a de sens ici que pour les usagers du train : c'est un exemple où la seconde variable n'est définie que dans une sous-population.

a) « Ni M ni T » est l'événement M ∩ T : les non malades de test négatif, 855 personnes. Probabilité 8551 000 = 0,855.
b) « M mais pas T » est M ∩ T : les faux négatifs, 10 personnes. Probabilité 101 000 = 0,01.
c) « M ou T » est M ∪ T. Par la formule de la réunion : P(M) + P(T) − P(M ∩ T) = 1001 000 + 1351 000 − 901 000 = 1451 000 = 0,145. Vérification par comptage : 90 + 10 + 45 = 145 personnes sont malades ou positives.
d) « M sachant T » est la probabilité conditionnelle P_T(M) = P(M ∩ T)P(T) = 10865 ≈ 0,0116, soit environ 1,2 % : un test négatif rend la maladie très improbable, mais pas impossible. Le tableau des traductions du cours (et, ou, ni, mais, sachant) évite les confusions entre intersection, réunion et condition.