Exercices corrigés — Probabilités conditionnelles et arbres (Seconde)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Découverte ». Voir les 8 exercices.

Exercice 1 Découverte

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. A = « la carte est un cœur » et B = « la carte est une figure (valet, dame ou roi) ». Calculer P(A), P(B), P(A ∩ B) et P_A(B).

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Correction détaillée

le tirage au hasard justifie l'équiprobabilité : chaque carte a la probabilité 132, et la probabilité d'un événement est le quotient du nombre de cartes favorables par 32.
Il y a 8 cœurs : P(A) = 832 = 14. Il y a 3 figures par couleur, donc 12 figures : P(B) = 1232 = 38. Les figures de cœur sont au nombre de 3 : P(A ∩ B) = 332.
P_A(B) = P(A ∩ B)P(A) = (332)/(832) = 38. Lecture directe : parmi les huit cœurs, trois sont des figures.
On remarque que P_A(B) = P(B) = 38 : savoir que la carte est un cœur ne change pas la probabilité d'avoir une figure, car chaque couleur contient la même proportion de figures. En revanche P_B(A) = (332)/(1232) = 14 : parmi les figures, un quart sont des cœurs.

Exercice 2 Découverte

On lance un dé équilibré à six faces. A = « le résultat est pair » et C = « le résultat est un multiple de 3 ». a) Calculer P(A), P(C) et P(A ∩ C). b) En déduire P(A ∪ C) et P(A). c) Calculer P_C(A) et interpréter.

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Correction détaillée

a) Le dé est équilibré : chaque face a la probabilité 16. A = {2 ; 4 ; 6}, donc P(A) = 36 = 12. C = {3 ; 6}, donc P(C) = 26 = 13. A ∩ C = {6}, donc P(A ∩ C) = 16.
b) P(A ∪ C) = P(A) + P(C) − P(A ∩ C) = 12 + 13 − 16 = 36 + 26 − 16 = 46 = 23. Vérification : A ∪ C = {2 ; 3 ; 4 ; 6} a bien 4 issues sur 6. Le 6 ne doit être compté qu'une fois, d'où la soustraction. P(A) = 1 − P(A) = 12 : les faces impaires.
c) P_C(A) = P(A ∩ C)P(C) = (16)/(13) = 12. Parmi les multiples de 3 (3 et 6), un sur deux est pair.
Ici P_C(A) = P(A) : savoir que le résultat est un multiple de 3 ne modifie pas la probabilité qu'il soit pair. Ce n'est pas toujours le cas : avec B = « au moins 4 », P_B(A) = 23 ≠ 12.

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