Exercices corrigés — Probabilités conditionnelles et arbres (Seconde)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 8 exercices.

Exercice 7 Challenge

Une enquête porte sur 240 adultes ; 96 utilisent le train, et 60 de ces 96 voyagent chaque semaine. On choisit un adulte au hasard ; T = « utilise le train » et S = « voyage chaque semaine en train ». Calculer P(T), P_T(S) et P(T ∩ S) de deux façons.

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Correction détaillée

P(T) = 96240 = 0,4 : deux adultes sur cinq utilisent le train.
P_T(S) = 6096 = 0,625 : parmi les usagers du train, 62,5 % voyagent chaque semaine. Le dénominateur est 96, effectif de la sous-population « usagers du train ».
P(T ∩ S) de façon directe : 60 adultes sur 240 sont des usagers hebdomadaires, 60240 = 0,25. Par la formule du produit : P(T) × P_T(S) = 0,4 × 0,625 = 0,25. Les deux calculs concordent.
Sur un arbre, le chemin « T puis S » porte les pondérations 0,4 puis 0,625, et leur produit 0,25 est la probabilité du chemin. L'événement S n'a de sens ici que pour les usagers du train : c'est un exemple où la seconde variable n'est définie que dans une sous-population.

Exercice 8 Challenge

On reprend le tableau du test (1 000 personnes ; malades : 90 positifs, 10 négatifs ; non malades : 45 positifs, 855 négatifs). Traduire chaque phrase par un événement, puis calculer sa probabilité pour une personne choisie au hasard : a) « ni malade ni positive » ; b) « malade mais de test négatif » ; c) « malade ou positive » ; d) « malade sachant que le test est négatif ».

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Correction détaillée

a) « Ni M ni T » est l'événement M ∩ T : les non malades de test négatif, 855 personnes. Probabilité 8551 000 = 0,855.
b) « M mais pas T » est M ∩ T : les faux négatifs, 10 personnes. Probabilité 101 000 = 0,01.
c) « M ou T » est M ∪ T. Par la formule de la réunion : P(M) + P(T) − P(M ∩ T) = 1001 000 + 1351 000 − 901 000 = 1451 000 = 0,145. Vérification par comptage : 90 + 10 + 45 = 145 personnes sont malades ou positives.
d) « M sachant T » est la probabilité conditionnelle P_T(M) = P(M ∩ T)P(T) = 10865 ≈ 0,0116, soit environ 1,2 % : un test négatif rend la maladie très improbable, mais pas impossible. Le tableau des traductions du cours (et, ou, ni, mais, sachant) évite les confusions entre intersection, réunion et condition.

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