Probabilités conditionnelles et arbres — cours de Seconde
Univers, issues et événements, Loi de probabilité, Probabilité conditionnelle, Lien avec un tableau croisé Lecture ≈ 4 min.
1. Univers, issues et événements
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles sans pouvoir prévoir celui qui se réalisera.
- Une issue est un résultat possible ; l'univers Ω est l'ensemble des issues.
- Un événement A est un sous-ensemble de Ω. Il est réalisé si l'issue obtenue appartient à A.
- L'événement contraire de A est Ā = Ω \ A.
- A ∩ B signifie « A et B » ; A ∪ B signifie « A ou B ».
2. Loi de probabilité
Une loi de probabilité sur un univers fini associe à chaque issue ωi un nombre pi compris entre 0 et 1, la somme de toutes les probabilités valant 1. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent.
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(∅) = 0 ; P(Ω) = 1.
- P(Ā) = 1 − P(A).
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- Si A et B sont incompatibles, P(A ∩ B) = 0 et P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Si toutes les issues ont la même probabilité :
P(A) = Card(A)/Card(Ω).
L'équiprobabilité est une hypothèse du modèle, souvent justifiée par les mots « équilibré », « au hasard » ou « bien mélangé » ; ce n'est pas un résultat automatique.
On lance un dé équilibré à six faces. A = « obtenir un nombre pair » = {2 ; 4 ; 6} et B = « obtenir au moins 4 » = {4 ; 5 ; 6}.
- P(A) = 36 = 12 ; P(B) = 36 = 12.
- A ∩ B = {4 ; 6}, donc P(A ∩ B) = 26 = 13.
- P(A ∪ B) = 12 + 12 − 13 = 23.
3. Probabilité conditionnelle
Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant A, notée PA(B), est :
PA(B) = P(A ∩ B)P(A).
Le fait de savoir que A est réalisé réduit l'univers de référence à A.
On choisit au hasard un entier de 1 à 12. A = « le nombre est pair » et B = « le nombre est multiple de 3 ».
A = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12}, donc P(A) = 612. A ∩ B = {6 ; 12}, donc P(A ∩ B) = 212.
PA(B) = (212)/(612) = 26 = 13. Directement : parmi les six nombres pairs, deux sont multiples de 3.
4. Lien avec un tableau croisé
Si l'on choisit au hasard un individu dans une population finie :
P(A) = Card(A)/Card(Ω) et PB(A) = Card(A ∩ B)/Card(B).
Une fréquence conditionnelle observée dans un tableau devient une probabilité conditionnelle dans le modèle du tirage équiprobable.
| Test positif | Test négatif | Total | |
|---|---|---|---|
| Malade | 90 | 10 | 100 |
| Non malade | 45 | 855 | 900 |
| Total | 135 | 865 | 1000 |
- PM(T) = 90100 = 90 % : parmi les malades, 90 % ont un test positif (sensibilité dans ce tableau).
- PT(M) = 90135 = 23 ≈ 66,7 % : parmi les tests positifs, environ 66,7 % sont malades.
Ces nombres diffèrent : inverser le conditionnement est une erreur majeure.
5. Arbre pondéré
Un arbre pondéré représente des choix ou informations successifs. Les branches du premier niveau portent des probabilités simples ; les branches suivantes portent des probabilités conditionnelles.
- La somme des pondérations issues d'un même nœud vaut 1.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.
- En particulier P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
Une pièce équilibrée détermine A ou Ā. Si A est obtenu, une urne donne B avec probabilité 0,3 ; sinon elle donne B avec probabilité 0,6.
Départ
|-- A : 0,5
| |-- B : 0,3
| `-- non B : 0,7
`-- non A : 0,5
|-- B : 0,6
`-- non B : 0,4
P(A ∩ B) = 0,5 × 0,3 = 0,15. P(Ā ∩ B̄) = 0,5 × 0,4 = 0,20.
Savoir lire et construire un arbre, interpréter les probabilités conditionnelles et calculer la probabilité d'un chemin est exigible. En revanche, calculer systématiquement la probabilité d'un événement à partir de ses probabilités conditionnelles relatives à une partition (formule générale des probabilités totales) n'est pas un attendu du programme de Seconde. Une activité guidée peut le faire apparaître, mais elle doit être signalée comme approfondissement.
6. Traduire du français au symbolique
| Phrase | Écriture |
|---|---|
| probabilité de B sachant A | PA(B) |
| A et B | P(A ∩ B) |
| A ou B | P(A ∪ B) |
| ni A ni B | P(Ā ∩ B̄) |
| A mais pas B | P(A ∩ B̄) |
7. Faux positifs et faux négatifs
- Un faux positif est un résultat positif chez un individu ne présentant pas la propriété recherchée.
- Un faux négatif est un résultat négatif chez un individu présentant la propriété.
- La fréquence des faux positifs parmi les non-porteurs n'est pas la fréquence des non-porteurs parmi les résultats positifs.
- Confondre PA(B) et PB(A).
- Ajouter les probabilités le long d'un chemin : on les multiplie.
- Oublier que les branches issues d'un même nœud totalisent 1.
- Supposer l'équiprobabilité sans justification.
- Présenter la formule générale des probabilités totales comme un attendu de Seconde 2026.