Exercices corrigés — Notion de fonction et représentations (Seconde)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 8 exercices.

Exercice 7 Challenge

Le coût, en euros, de fabrication de q objets est C(q) = 120 + 3,5q, pour q entier compris entre 0 et 200. a) Interpréter C(50) et C(0). b) Résoudre C(q) ≤ 400 et interpréter.

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Correction détaillée

a) C(50) = 120 + 3,5 × 50 = 120 + 175 = 295 : fabriquer 50 objets coûte 295 €. C(0) = 120 : même sans fabriquer aucun objet, l'entreprise supporte 120 € de coûts fixes (local, machines) ; chaque objet supplémentaire coûte ensuite 3,5 €.
b) C(q) ≤ 400 ⇔ 120 + 3,5q ≤ 400 ⇔ 3,5q ≤ 280 ⇔ q ≤ 2803,5 = 80.
Comme q est un nombre entier d'objets compris entre 0 et 200, les solutions sont les entiers de 0 à 80 : avec un budget de 400 €, on peut fabriquer au plus 80 objets.
Vérification : C(80) = 120 + 280 = 400 exactement, et C(81) = 403,5 > 400. Dans un problème concret, l'ensemble de définition (ici des entiers de 0 à 200) fait partie de la réponse.

Exercice 8 Challenge

On dispose de 20 m de grillage pour les trois côtés d'un enclos rectangulaire adossé à un mur. Si x désigne la largeur (en m) perpendiculaire au mur, l'aire de l'enclos est A(x) = 20x − 2x², pour x ∈ [0 ; 10]. a) Calculer A(0), A(2), A(4), A(5), A(6), A(8) et A(10). b) Conjecturer la largeur qui rend l'aire maximale. c) Démontrer cette conjecture en vérifiant que A(x) = 50 − 2(x − 5)².

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Correction détaillée

a) A(0) = 0 ; A(2) = 40 − 8 = 32 ; A(4) = 80 − 32 = 48 ; A(5) = 100 − 50 = 50 ; A(6) = 120 − 72 = 48 ; A(8) = 160 − 128 = 32 ; A(10) = 200 − 200 = 0.
b) Les valeurs augmentent jusqu'à x = 5 puis diminuent, avec une symétrie visible (A(4) = A(6), A(2) = A(8)) : on conjecture que l'aire est maximale pour une largeur de 5 m, avec A(5) = 50 m².
c) On développe 50 − 2(x − 5)² = 50 − 2(x² − 10x + 25) = 50 − 2x² + 20x − 50 = 20x − 2x² = A(x). L'égalité est établie.
Comme (x − 5)² ≥ 0, on a 2(x − 5)² ≥ 0 et donc A(x) ≤ 50 pour tout x, avec égalité seulement pour x = 5. L'aire maximale est bien 50 m², pour une largeur de 5 m et une longueur de 20 − 2 × 5 = 10 m. Le tableau de valeurs a permis de conjecturer, le calcul a permis de démontrer.

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