Exercices corrigés — Notion de fonction et représentations (Seconde)

le dénominateur x − 1 s'annule pour x = 1 : cette valeur est interdite, et D_f = ℝ privé de {1}, soit ]−∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.
Image de 3 : on remplace x par 3, f(3) = 3 + 23 − 1 = 52 = 2,5.
Le point A(0 ; −2) appartient à C_f si et seulement si son ordonnée est l'image de son abscisse, c'est-à-dire si f(0) = −2. Or f(0) = 0 + 20 − 1 = 2−1 = −2 : A appartient à C_f.
Pour un point B(1 ; y), quelle que soit l'ordonnée y, la question n'aurait pas de sens : 1 n'a pas d'image, la courbe n'a aucun point d'abscisse 1.

a) Pour x = 2 : 2 × 3 = 6 ; 6 − 2 = 4 ; 4² = 16. Pour x = −1 : −1 × 3 = −3 ; −3 − 2 = −5 ; (−5)² = 25.
b) En suivant les étapes avec la lettre x : 3x, puis 3x − 2, puis (3x − 2)². Donc f(x) = (3x − 2)², définie sur ℝ. Vérification : f(2) = 4² = 16 et f(−1) = (−5)² = 25.
c) f(x) = 0 ⇔ (3x − 2)² = 0 ⇔ 3x − 2 = 0 ⇔ x = 23 : le nombre 0 a un seul antécédent, 23.
f(x) = 16 ⇔ (3x − 2)² = 16 ⇔ 3x − 2 = 4 ou 3x − 2 = −4 ⇔ x = 2 ou x = −23. Le nombre 16 a deux antécédents, 2 et −23 (et l'on retrouve le résultat de a) pour x = 2). Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents, mais chaque x n'a qu'une image.

f(0) = −1 se lit : l'image de 0 par f est −1. Un nombre n'a qu'une seule image, la question est donc sans ambiguïté.
f(−2) = 3 et f(4) = 3 se lisent : −2 et 4 sont des antécédents de 3. Le nombre 3 possède au moins deux antécédents, −2 et 4.
On ne peut pas affirmer qu'il n'en existe pas d'autres : les trois égalités ne renseignent que sur trois valeurs de x. Sans l'expression de f ou sa courbe complète, d'autres réels pourraient avoir 3 pour image.
Vocabulaire à ne pas inverser : dans f(−2) = 3, le nombre 3 est l'image et −2 l'antécédent. Sur la courbe, les points (−2 ; 3), (0 ; −1) et (4 ; 3) appartiennent à C_f.

a) L'image de 2 se lit dans la colonne x = 2 : f(2) = 1. Les antécédents de 1 sont les x dont la ligne du bas vaut 1 : −2, 0 et 2.
b) Le tableau donne f(−1) = 0 : −1 est solution de f(x) = 0. Entre x = 2 et x = 3, f passe de 1 à −1, elle change de signe : il y a très probablement une autre solution entre 2 et 3, mais le tableau ne permet pas de la lire, car il ne donne les valeurs qu'aux entiers. Une lecture de tableau (ou de graphique) fournit des conjectures, pas des valeurs exactes.
c) Les valeurs diminuent de x = −3 à x = −1 (4, 1, 0), augmentent de −1 à 1 (0, 1, 2), puis diminuent de 1 à 4 (2, 1, −1, −2) : on conjecture que f est décroissante sur [−3 ; −1], croissante sur [−1 ; 1] et décroissante sur [1 ; 4].
La plus grande valeur du tableau est 4, atteinte en x = −3, une borne de l'intervalle ; la plus petite est −2 en x = 4. Sous réserve du comportement entre deux entiers, le maximum de f serait 4 et son minimum −2.

pour f(x) ≤ 2 : on trace la droite horizontale d'équation y = 2. Les solutions sont les abscisses des points de C_f situés sur cette droite ou en dessous. On lit les abscisses des points d'intersection, qui délimitent les intervalles solutions, en incluant ces abscisses puisque l'inégalité est large.
Pour f(x) = g(x) : les solutions sont les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g. Attention, on lit les abscisses (sur l'axe horizontal), pas les ordonnées.
De même, f(x) < g(x) se lit là où C_f est strictement en dessous de C_g, et f(x) > 0 là où C_f est au-dessus de l'axe des abscisses.
Une lecture graphique donne des valeurs approchées : on écrit x ≈ 1,5, sauf si l'énoncé garantit que le point a des coordonnées entières ou si un calcul confirme la valeur.

a) f(0) = −1, f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 5 ; g(0) = 5, g(1) = 4, g(2) = 3, g(3) = 2. On remarque que f(2) = g(2) = 3.

a) C(50) = 120 + 3,5 × 50 = 120 + 175 = 295 : fabriquer 50 objets coûte 295 €. C(0) = 120 : même sans fabriquer aucun objet, l'entreprise supporte 120 € de coûts fixes (local, machines) ; chaque objet supplémentaire coûte ensuite 3,5 €.
b) C(q) ≤ 400 ⇔ 120 + 3,5q ≤ 400 ⇔ 3,5q ≤ 280 ⇔ q ≤ 2803,5 = 80.
Comme q est un nombre entier d'objets compris entre 0 et 200, les solutions sont les entiers de 0 à 80 : avec un budget de 400 €, on peut fabriquer au plus 80 objets.
Vérification : C(80) = 120 + 280 = 400 exactement, et C(81) = 403,5 > 400. Dans un problème concret, l'ensemble de définition (ici des entiers de 0 à 200) fait partie de la réponse.

a) A(0) = 0 ; A(2) = 40 − 8 = 32 ; A(4) = 80 − 32 = 48 ; A(5) = 100 − 50 = 50 ; A(6) = 120 − 72 = 48 ; A(8) = 160 − 128 = 32 ; A(10) = 200 − 200 = 0.
b) Les valeurs augmentent jusqu'à x = 5 puis diminuent, avec une symétrie visible (A(4) = A(6), A(2) = A(8)) : on conjecture que l'aire est maximale pour une largeur de 5 m, avec A(5) = 50 m².
c) On développe 50 − 2(x − 5)² = 50 − 2(x² − 10x + 25) = 50 − 2x² + 20x − 50 = 20x − 2x² = A(x). L'égalité est établie.
Comme (x − 5)² ≥ 0, on a 2(x − 5)² ≥ 0 et donc A(x) ≤ 50 pour tout x, avec égalité seulement pour x = 5. L'aire maximale est bien 50 m², pour une largeur de 5 m et une longueur de 20 − 2 × 5 = 10 m. Le tableau de valeurs a permis de conjecturer, le calcul a permis de démontrer.