Notion de fonction et représentations — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 10 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Dépendance entre deux grandeurs
Définition
Définir une fonction f sur un ensemble D, c'est associer à chaque nombre x de D un unique nombre, noté f(x). L'ensemble D est l'ensemble de définition. On écrit f : x ↦ f(x).
Vocabulaire
Si f(3) = 7, alors 7 est l'image de 3 par f, et 3 est un antécédent de 7 par f. Tout nombre x de D possède une seule image par f, mais un nombre quelconque peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
3. Quatre modes de représentation
Une fonction peut être donnée
- par une expression algébrique : f(x) = 2x + 3 ;
- par un tableau de valeurs ;
- par une courbe ;
- par un programme de calcul ou un algorithme.
Changer de registre est une compétence centrale : aucune représentation n'est toujours la meilleure.
4. Courbe représentative
Définition
Dans un repère, la courbe représentative Cf de f est l'ensemble des points M(x ; y) dont les coordonnées vérifient y = f(x). On dit que Cf a pour équation y = f(x).
Appartenance
Le point M(a ; b) appartient à Cf si et seulement si b = f(a).
6. Résoudre graphiquement
Interprétations
- f(x) = k : abscisses des intersections de Cf avec la droite y = k.
- f(x) > k : abscisses où Cf est au-dessus de y = k.
- f(x) = g(x) : abscisses des intersections de Cf et Cg.
- f(x) ≤ g(x) : abscisses où Cf est en dessous de Cg.
Une lecture graphique fournit en général des valeurs approchées ; on indique la précision.
7. Signe d'une fonction
Définition
Étudier le signe de f, c'est déterminer les x tels que f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0. Graphiquement, f(x) est positif lorsque Cf est au-dessus de l'axe des abscisses, négatif lorsqu'elle est en dessous.
8. Variations et extrémums
Définitions
Sur un intervalle I :
- f est croissante si les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents ;
- f est décroissante si les images sont rangées dans l'ordre contraire ;
- f est constante si toutes les images sont égales.
Un maximum sur I est une valeur f(a) supérieure ou égale à toutes les autres images sur I. Un minimum se définit de manière analogue.
Attention au vocabulaire
Une fonction croissante ne prend pas nécessairement des valeurs positives. « Croissante » décrit l'évolution de f(x) quand x augmente ; « positive » décrit le signe de f(x).
9. Modéliser une situation
Erreurs fréquentes
- Inverser image et antécédent : dans f(2) = 5, 5 est l'image et 2 un antécédent.
- Oublier l'ensemble de définition avant de calculer ou résoudre.
- Lire un antécédent sur l'axe vertical.
- Présenter comme exact un résultat lu approximativement sur un graphique.
- Confondre maximum (valeur de la fonction) et endroit où il est atteint (antécédent).
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
- Une expression polynomiale comme 2x2 − 3x + 1 est définie sur ℝ.
- Pour une expression fractionnaire, exclure les zéros du dénominateur.
- Pour √A(x), imposer A(x) ≥ 0.
- Dans un problème concret, ajouter les contraintes du contexte : temps positif, longueur comprise dans la figure, effectif entier, etc.
Méthode 2Lire une image f(a)
- Partir de a sur l'axe des abscisses.
- Tracer mentalement la verticale jusqu'à la courbe.
- Lire l'ordonnée du point obtenu.
Méthode 3Lire les antécédents de b
- Partir de b sur l'axe des ordonnées.
- Tracer mentalement l'horizontale d'équation y = b.
- Lire les abscisses de tous ses points d'intersection avec la courbe.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés