Notion de fonction et représentations — cours de Seconde
Dépendance entre deux grandeurs, Déterminer l'ensemble de définition, Quatre modes de représentation, Courbe représentative Lecture ≈ 5 min.
1. Dépendance entre deux grandeurs
Définir une fonction f sur un ensemble D, c'est associer à chaque nombre x de D un unique nombre, noté f(x). L'ensemble D est l'ensemble de définition. On écrit f : x ↦ f(x).
Si f(3) = 7, alors 7 est l'image de 3 par f, et 3 est un antécédent de 7 par f. Tout nombre x de D possède une seule image par f, mais un nombre quelconque peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Pour f(x) = x2 − 4, f(3) = 9 − 4 = 5 : l'image de 3 est 5. Chercher les antécédents de 5 revient à résoudre x2 − 4 = 5, soit x2 = 9. Les antécédents sont −3 et 3.
2. Déterminer l'ensemble de définition
- Une expression polynomiale comme 2x2 − 3x + 1 est définie sur ℝ.
- Pour une expression fractionnaire, exclure les zéros du dénominateur.
- Pour √A(x), imposer A(x) ≥ 0.
- Dans un problème concret, ajouter les contraintes du contexte : temps positif, longueur comprise dans la figure, effectif entier, etc.
Déterminer l'ensemble de définition de g(x) = √2x − 6x + 1.
- La racine impose 2x − 6 ≥ 0, donc x ≥ 3.
- Le dénominateur impose x ≠ −1.
- Or −1 n'appartient déjà pas à [3 ; +∞[.
- Donc Dg = [3 ; +∞[.
3. Quatre modes de représentation
- par une expression algébrique : f(x) = 2x + 3 ;
- par un tableau de valeurs ;
- par une courbe ;
- par un programme de calcul ou un algorithme.
Changer de registre est une compétence centrale : aucune représentation n'est toujours la meilleure.
Programme : choisir x ; lui ajouter 4 ; multiplier le résultat par x ; retrancher 5.
La fonction associée est f(x) = x(x + 4) − 5 = x2 + 4x − 5.
| x | −2 | 0 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | −9 | −5 | 0 | 16 |
4. Courbe représentative
Dans un repère, la courbe représentative Cf de f est l'ensemble des points M(x ; y) dont les coordonnées vérifient y = f(x). On dit que Cf a pour équation y = f(x).
Le point M(a ; b) appartient à Cf si et seulement si b = f(a).
La courbe C a pour équation y = 2x2 − 3. Le point A(2 ; 5) appartient-il à C ?
On calcule 2 × 22 − 3 = 8 − 3 = 5, qui est l'ordonnée de A. Donc A ∈ C.
Pour B(−1 ; 1), 2 × (−1)2 − 3 = −1 ≠ 1, donc B ∉ C.
5. Lecture graphique d'images et d'antécédents
- Partir de a sur l'axe des abscisses.
- Tracer mentalement la verticale jusqu'à la courbe.
- Lire l'ordonnée du point obtenu.
- Partir de b sur l'axe des ordonnées.
- Tracer mentalement l'horizontale d'équation y = b.
- Lire les abscisses de tous ses points d'intersection avec la courbe.
6. Résoudre graphiquement
- f(x) = k : abscisses des intersections de Cf avec la droite y = k.
- f(x) > k : abscisses où Cf est au-dessus de y = k.
- f(x) = g(x) : abscisses des intersections de Cf et Cg.
- f(x) ≤ g(x) : abscisses où Cf est en dessous de Cg.
Une lecture graphique fournit en général des valeurs approchées ; on indique la précision.
7. Signe d'une fonction
Étudier le signe de f, c'est déterminer les x tels que f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0. Graphiquement, f(x) est positif lorsque Cf est au-dessus de l'axe des abscisses, négatif lorsqu'elle est en dessous.
Pour f(x) = (x − 1)(x + 4), le tableau de signes montre que f est positive sur ]−∞ ; −4] ∪ [1 ; +∞[ et négative sur ]−4 ; 1[.
8. Variations et extrémums
Sur un intervalle I :
- f est croissante si les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents ;
- f est décroissante si les images sont rangées dans l'ordre contraire ;
- f est constante si toutes les images sont égales.
Un maximum sur I est une valeur f(a) supérieure ou égale à toutes les autres images sur I. Un minimum se définit de manière analogue.
Une fonction croissante ne prend pas nécessairement des valeurs positives. « Croissante » décrit l'évolution de f(x) quand x augmente ; « positive » décrit le signe de f(x).
Une fonction définie sur [−3 ; 5] décroît de 4 à −2 sur [−3 ; 1], puis croît de −2 à 6 sur [1 ; 5]. Son minimum est −2, atteint en x = 1 ; son maximum sur tout l'intervalle est 6, atteint en x = 5.
9. Modéliser une situation
On dispose de 20 m de grillage pour trois côtés d'un enclos rectangulaire adossé à un mur. Si x est la largeur perpendiculaire au mur, la longueur clôturée parallèle au mur vaut 20 − 2x.
- Contraintes : x ≥ 0 et 20 − 2x ≥ 0, donc x ∈ [0 ; 10].
- Aire : A(x) = x(20 − 2x) = 20x − 2x2.
- On peut dresser un tableau de valeurs ou utiliser un outil numérique pour conjecturer que l'aire maximale vaut 50 m2, pour x = 5 m.
- Preuve algébrique : A(x) = 50 − 2(x − 5)2 ≤ 50.
- Inverser image et antécédent : dans f(2) = 5, 5 est l'image et 2 un antécédent.
- Oublier l'ensemble de définition avant de calculer ou résoudre.
- Lire un antécédent sur l'axe vertical.
- Présenter comme exact un résultat lu approximativement sur un graphique.
- Confondre maximum (valeur de la fonction) et endroit où il est atteint (antécédent).