Exercices corrigés — Nombres réels, intervalles et valeur absolue (Seconde)

un intervalle fermé [a − r ; a + r] est l'ensemble des réels situés à une distance au plus r de son centre a, ce qui s'écrit |x − a| ≤ r.
Le centre de [7,8 ; 8,2] est le milieu des bornes : a = 7,8 + 8,22 = 162 = 8. Le rayon est la moitié de l'amplitude : r = 8,2 − 7,82 = 0,42 = 0,2.
Donc x ∈ [7,8 ; 8,2] ⇔ |x − 8| ≤ 0,2.
Vérification : pour x = 7,8, |7,8 − 8| = 0,2, la borne est bien atteinte ; pour x = 8,3, |8,3 − 8| = 0,3 > 0,2, et 8,3 n'est pas dans l'intervalle. Cette écriture est celle des tolérances de fabrication : « 8 à 0,2 près ».

a) L'amplitude est la différence des bornes : 2,237 − 2,236 = 0,001 = 10⁻³. C'est un encadrement au millième.
b) En multipliant les trois membres par 2, nombre positif, le sens des inégalités est conservé : 4,472 < 2√5 < 4,474. L'amplitude est doublée : 0,002. En ajoutant 1 à chaque membre : 3,236 < √5 + 1 < 3,237, amplitude inchangée, 0,001.
c) Pour arrondir au centième, on regarde le chiffre des millièmes : √5 = 2,236…, et 6 ≥ 5, donc on augmente le chiffre des centièmes : √5 ≈ 2,24.
On écrit √5 ≈ 2,24 et non √5 = 2,24 : la valeur exacte est √5, nombre irrationnel dont l'écriture décimale ne s'arrête jamais ; 2,24 n'en est qu'une valeur approchée.