Nombres réels, intervalles et valeur absolue — cours de Seconde
La droite des réels, Intervalles, Intersection et réunion d'intervalles, Distance et valeur absolue Lecture ≈ 4 min.
1. La droite des réels
L'ensemble ℝ des nombres réels est identifié à l'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée. Il contient les rationnels et les irrationnels.
Un rationnel s'écrit ab avec a entier et b entier non nul. Un réel qui n'est pas rationnel est irrationnel. Les nombres √2 et π sont irrationnels.
√2 est une valeur exacte. 1,414 ou 1,41 en sont des valeurs approchées. La calculatrice ne stocke et n'affiche qu'un nombre fini de chiffres : son affichage ne transforme pas un irrationnel en décimal.
2. Intervalles
Un intervalle est un ensemble de réels compris entre des bornes. Une borne est incluse avec un crochet tourné vers l'intérieur, exclue avec un crochet tourné vers l'extérieur. Les symboles −∞ et +∞ ne sont jamais inclus.
| Inégalité | Intervalle | Lecture |
|---|---|---|
| a ≤ x ≤ b | [a ; b] | segment fermé |
| a < x < b | ]a ; b[ | intervalle ouvert |
| a ≤ x < b | [a ; b[ | a inclus, b exclu |
| x ≥ a | [a ; +∞[ | demi-droite, a inclus |
| x < a | ]−∞ ; a[ | demi-droite, a exclu |
Traduire −2 < x ≤ 5 : x ∈ ]−2 ; 5]. Le point −2 est exclu, le point 5 est inclus.
Traduire x ∈ ]−∞ ; 3[ ∪ [7 ; +∞[ : x < 3 ou x ≥ 7.
3. Intersection et réunion d'intervalles
- Tracer les deux intervalles sur une même droite.
- Pour l'intersection, conserver la partie coloriée deux fois (« et »).
- Pour la réunion, conserver toute partie coloriée au moins une fois (« ou »).
A = [−3 ; 4] et B = ]1 ; 7[.
- A ∩ B = ]1 ; 4] : les nombres doivent satisfaire les deux conditions.
- A ∪ B = [−3 ; 7[ : les intervalles se recouvrent, donc leur réunion est sans trou.
Avec C = [−5 ; −2] et D = [1 ; 3], C ∩ D = ∅ et C ∪ D reste l'union de deux intervalles disjoints.
4. Distance et valeur absolue
La valeur absolue |a| est la distance de a à 0. La distance entre deux réels a et b vaut |a − b| = |b − a|.
- |a| ≥ 0 ; |a| = 0 exactement lorsque a = 0.
- |a| = |−a|.
- |x − a| ≤ r, avec r ≥ 0, signifie que la distance de x à a est au plus r.
Périmètre officiel : en Seconde, la notation de valeur absolue est utilisée pour exprimer une distance et caractériser un intervalle. Les techniques générales de calcul avec valeur absolue relèvent d'un approfondissement et ne sont pas exigibles.
Pour r ≥ 0 :
|x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r ⇔ x ∈ [a − r ; a + r].
Le centre est a, le rayon est r, l'amplitude de l'intervalle est 2r.
Résoudre |x − 3| ≤ 0,4.
- La distance entre x et 3 doit être au plus 0,4.
- La borne gauche vaut 3 − 0,4 = 2,6.
- La borne droite vaut 3 + 0,4 = 3,4.
- Solution : x ∈ [2,6 ; 3,4].
5. Encadrements, arrondis et amplitude
- Un encadrement de x est une double inégalité a ≤ x ≤ b.
- Son amplitude est b − a.
- Un encadrement décimal à 10−n près a une amplitude égale à 10−n.
- Un arrondi au rang demandé est la valeur décimale la plus proche ; si le premier chiffre supprimé est au moins 5, on augmente le dernier chiffre gardé d'une unité.
Comme 1,414 < √2 < 1,415, on a un encadrement d'amplitude 0,001 = 10−3. L'arrondi de √2 au millième est 1,414, car le quatrième chiffre après la virgule est 2.
Un résultat concret doit être adapté aux données. Une longueur mesurée au centimètre ne justifie pas dix décimales. Toujours écrire l'unité et signaler une approximation avec ≈, jamais avec =.
6. Pourquoi 1/3 n'est pas décimal
Supposons que 13 soit décimal. Il existerait des entiers p et n tels que 13 = p10n. En multipliant, 10n = 3p. Ainsi 10n serait divisible par 3. Or 10n s'écrit 1 suivi de n zéros ; la somme de ses chiffres vaut 1, donc il n'est pas divisible par 3. Contradiction : 13 n'est pas décimal.
7. Irrationalité de √2
Supposons √2 rationnel. On pourrait écrire √2 = pq sous forme irréductible, avec p et q entiers positifs. Alors p2 = 2q2, donc p2 est pair et p est pair. Écrivons p = 2k. On obtient 4k2 = 2q2, soit q2 = 2k2. Ainsi q est également pair. Les nombres p et q seraient tous deux divisibles par 2, contrairement au caractère irréductible de pq. Donc √2 est irrationnel.
- Fermer un intervalle en l'infini : +∞ n'est pas un réel et n'est jamais inclus.
- Confondre union (« ou ») et intersection (« et »).
- Écrire √2 = 1,414 : il faut √2 ≈ 1,414.
- Pour |x − a| ≤ r, oublier que l'intervalle s'étend des deux côtés de a.