Exercices corrigés — Nombres réels, intervalles et valeur absolue (Seconde)

a) −4 ≤ x < 2 : la borne −4 est incluse (inégalité large, crochet fermé) et la borne 2 est exclue (inégalité stricte, crochet ouvert) : x ∈ [−4 ; 2[.
b) x > 5 : tous les réels strictement supérieurs à 5, sans borne à droite : x ∈ ]5 ; +∞[. Le symbole +∞ n'est pas un nombre, le crochet est toujours tourné vers l'extérieur de son côté.
c) Le « ou » se traduit par une réunion : x ∈ ]−∞ ; −1] ∪ ]3 ; +∞[. Les deux intervalles sont disjoints, la réunion ne peut pas s'écrire comme un seul intervalle.
Sur une droite graduée, on colorie chaque intervalle ; un crochet fermé se dessine avec un point plein, un crochet ouvert avec un point vide.

a) |5 − 9| = |−4| = 4 : la valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé. |−3 − 4| = |−7| = 7. |−2,5| = 2,5, distance de −2,5 à 0.
b) La distance entre deux réels a et b est |a − b| : |−2,5 − 4| = |−6,5| = 6,5. On peut aussi calculer |4 − (−2,5)| = 6,5, l'ordre n'a pas d'importance.
c) |x| = 3 signifie que x est à la distance 3 de 0 : x = 3 ou x = −3. Deux solutions, symétriques par rapport à 0.
|x − 1| = 2 signifie que x est à la distance 2 de 1 : x = 1 + 2 = 3 ou x = 1 − 2 = −1. Vérification : |3 − 1| = 2 et |−1 − 1| = |−2| = 2.

on trace les deux intervalles sur une même droite graduée : A va de −2 exclu à 6 inclus, B de 4 inclus à 9 exclu. Ils se recouvrent entre 4 et 6.
A ∩ B est la partie coloriée deux fois : les réels vérifiant à la fois −2 < x ≤ 6 et 4 ≤ x < 9, c'est-à-dire 4 ≤ x ≤ 6. Donc A ∩ B = [4 ; 6]. Le 4 est inclus (il est dans B et dans A) et le 6 aussi (il est dans A et dans B).
A ∪ B est la partie coloriée au moins une fois : de −2 exclu à 9 exclu, sans trou puisque les intervalles se recouvrent. Donc A ∪ B = ]−2 ; 9[.
Vérification avec des valeurs : 5 est dans les deux ensembles ; 0 est dans A ∪ B mais pas dans A ∩ B ; 9 n'est dans aucun des deux.

a) On écrit x + 2 = x − (−2) : l'inéquation |x − (−2)| ≤ 3 signifie que la distance de x à −2 est au plus 3.
Les réels concernés sont ceux de l'intervalle centré en −2 et de rayon 3 : [−2 − 3 ; −2 + 3] = [−5 ; 1]. On peut aussi raisonner par équivalences : |x + 2| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x + 2 ≤ 3 ⇔ −5 ≤ x ≤ 1.
b) |x − 1| < 2 signifie que la distance de x à 1 est strictement inférieure à 2 : x est dans l'intervalle ouvert de centre 1 et de rayon 2, ]1 − 2 ; 1 + 2[ = ]−1 ; 3[. Les bornes sont exclues car l'inégalité est stricte.
Vérification : x = 0 donne |0 − 1| = 1 < 2, solution ; x = 3 donne |3 − 1| = 2, qui n'est pas strictement inférieur à 2, donc 3 n'est pas solution.

un intervalle fermé [a − r ; a + r] est l'ensemble des réels situés à une distance au plus r de son centre a, ce qui s'écrit |x − a| ≤ r.
Le centre de [7,8 ; 8,2] est le milieu des bornes : a = 7,8 + 8,22 = 162 = 8. Le rayon est la moitié de l'amplitude : r = 8,2 − 7,82 = 0,42 = 0,2.
Donc x ∈ [7,8 ; 8,2] ⇔ |x − 8| ≤ 0,2.
Vérification : pour x = 7,8, |7,8 − 8| = 0,2, la borne est bien atteinte ; pour x = 8,3, |8,3 − 8| = 0,3 > 0,2, et 8,3 n'est pas dans l'intervalle. Cette écriture est celle des tolérances de fabrication : « 8 à 0,2 près ».

a) L'amplitude est la différence des bornes : 2,237 − 2,236 = 0,001 = 10⁻³. C'est un encadrement au millième.
b) En multipliant les trois membres par 2, nombre positif, le sens des inégalités est conservé : 4,472 < 2√5 < 4,474. L'amplitude est doublée : 0,002. En ajoutant 1 à chaque membre : 3,236 < √5 + 1 < 3,237, amplitude inchangée, 0,001.
c) Pour arrondir au centième, on regarde le chiffre des millièmes : √5 = 2,236…, et 6 ≥ 5, donc on augmente le chiffre des centièmes : √5 ≈ 2,24.
On écrit √5 ≈ 2,24 et non √5 = 2,24 : la valeur exacte est √5, nombre irrationnel dont l'écriture décimale ne s'arrête jamais ; 2,24 n'en est qu'une valeur approchée.

π = 3,14159… est un nombre irrationnel : son écriture décimale ne se termine jamais et n'est pas périodique.
Un encadrement d'amplitude 10⁻³ = 0,001 s'obtient en gardant trois décimales : 3,141 < π < 3,142. La borne inférieure est la troncature au millième, la borne supérieure est le millième suivant, et 3,142 − 3,141 = 0,001.
Arrondi au centième : on regarde le troisième chiffre après la virgule, 1, qui est inférieur à 5 ; on garde donc 3,14 tel quel : π ≈ 3,14.
Attention à ne pas confondre : l'arrondi au millième serait 3,142 (le quatrième chiffre, 5, fait augmenter le 1 en 2), tandis que la troncature au millième est 3,141.

a) La distance entre x et 12 s'écrit |x − 12|. La condition « au plus 0,05 mm » se traduit par |x − 12| ≤ 0,05.
b) Cette inégalité caractérise l'intervalle de centre 12 et de rayon 0,05 : x ∈ [12 − 0,05 ; 12 + 0,05] = [11,95 ; 12,05]. Son amplitude est 0,1 mm, le double de la tolérance.
c) Pour x = 12,06 : |12,06 − 12| = 0,06 > 0,05. Le composant n'est pas conforme, il dépasse la tolérance de 0,01 mm. On le voit aussi sur l'intervalle : 12,06 > 12,05.
Dans l'industrie, on note cette contrainte « 12 ± 0,05 mm » : la valeur absolue est l'outil mathématique qui traduit exactement cette notation.