Exercices corrigés — Nombres réels, intervalles et valeur absolue (Seconde)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 8 exercices.

Exercice 7 Challenge

Donner un encadrement de π d'amplitude 10⁻³, puis son arrondi au centième.

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Correction détaillée

π = 3,14159… est un nombre irrationnel : son écriture décimale ne se termine jamais et n'est pas périodique.
Un encadrement d'amplitude 10⁻³ = 0,001 s'obtient en gardant trois décimales : 3,141 < π < 3,142. La borne inférieure est la troncature au millième, la borne supérieure est le millième suivant, et 3,142 − 3,141 = 0,001.
Arrondi au centième : on regarde le troisième chiffre après la virgule, 1, qui est inférieur à 5 ; on garde donc 3,14 tel quel : π ≈ 3,14.
Attention à ne pas confondre : l'arrondi au millième serait 3,142 (le quatrième chiffre, 5, fait augmenter le 1 en 2), tandis que la troncature au millième est 3,141.

Exercice 8 Challenge

Un composant est conforme si sa longueur x, en mm, est distante d'au plus 0,05 mm de 12 mm. a) Traduire cette condition par une inégalité avec une valeur absolue. b) Donner l'intervalle de conformité. c) Un composant de 12,06 mm est-il conforme ?

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Correction détaillée

a) La distance entre x et 12 s'écrit |x − 12|. La condition « au plus 0,05 mm » se traduit par |x − 12| ≤ 0,05.
b) Cette inégalité caractérise l'intervalle de centre 12 et de rayon 0,05 : x ∈ [12 − 0,05 ; 12 + 0,05] = [11,95 ; 12,05]. Son amplitude est 0,1 mm, le double de la tolérance.
c) Pour x = 12,06 : |12,06 − 12| = 0,06 > 0,05. Le composant n'est pas conforme, il dépasse la tolérance de 0,01 mm. On le voit aussi sur l'intervalle : 12,06 > 12,05.
Dans l'industrie, on note cette contrainte « 12 ± 0,05 mm » : la valeur absolue est l'outil mathématique qui traduit exactement cette notation.

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