Exercices corrigés — Nombres réels, intervalles et valeur absolue (Seconde)

on trace les deux intervalles sur une même droite graduée : A va de −2 exclu à 6 inclus, B de 4 inclus à 9 exclu. Ils se recouvrent entre 4 et 6.
A ∩ B est la partie coloriée deux fois : les réels vérifiant à la fois −2 < x ≤ 6 et 4 ≤ x < 9, c'est-à-dire 4 ≤ x ≤ 6. Donc A ∩ B = [4 ; 6]. Le 4 est inclus (il est dans B et dans A) et le 6 aussi (il est dans A et dans B).
A ∪ B est la partie coloriée au moins une fois : de −2 exclu à 9 exclu, sans trou puisque les intervalles se recouvrent. Donc A ∪ B = ]−2 ; 9[.
Vérification avec des valeurs : 5 est dans les deux ensembles ; 0 est dans A ∪ B mais pas dans A ∩ B ; 9 n'est dans aucun des deux.

a) On écrit x + 2 = x − (−2) : l'inéquation |x − (−2)| ≤ 3 signifie que la distance de x à −2 est au plus 3.
Les réels concernés sont ceux de l'intervalle centré en −2 et de rayon 3 : [−2 − 3 ; −2 + 3] = [−5 ; 1]. On peut aussi raisonner par équivalences : |x + 2| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x + 2 ≤ 3 ⇔ −5 ≤ x ≤ 1.
b) |x − 1| < 2 signifie que la distance de x à 1 est strictement inférieure à 2 : x est dans l'intervalle ouvert de centre 1 et de rayon 2, ]1 − 2 ; 1 + 2[ = ]−1 ; 3[. Les bornes sont exclues car l'inégalité est stricte.
Vérification : x = 0 donne |0 − 1| = 1 < 2, solution ; x = 3 donne |3 − 1| = 2, qui n'est pas strictement inférieur à 2, donc 3 n'est pas solution.