Nombres réels, intervalles et valeur absolue — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 12 points à retenir et 2 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. La droite des réels
Définition
L'ensemble ℝ des nombres réels est identifié à l'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée. Il contient les rationnels et les irrationnels.
Rationnel ou irrationnel
Un rationnel s'écrit ab avec a entier et b entier non nul. Un réel qui n'est pas rationnel est irrationnel. Les nombres √2 et π sont irrationnels.
Valeur exacte et valeur approchée
√2 est une valeur exacte. 1,414 ou 1,41 en sont des valeurs approchées. La calculatrice ne stocke et n'affiche qu'un nombre fini de chiffres : son affichage ne transforme pas un irrationnel en décimal.
2. Intervalles
Définition
Un intervalle est un ensemble de réels compris entre des bornes. Une borne est incluse avec un crochet tourné vers l'intérieur, exclue avec un crochet tourné vers l'extérieur. Les symboles −∞ et +∞ ne sont jamais inclus.
| Inégalité | Intervalle | Lecture |
|---|---|---|
| a ≤ x ≤ b | [a ; b] | segment fermé |
| a < x < b | ]a ; b[ | intervalle ouvert |
| a ≤ x < b | [a ; b[ | a inclus, b exclu |
| x ≥ a | [a ; +∞[ | demi-droite, a inclus |
| x < a | ]−∞ ; a[ | demi-droite, a exclu |
4. Distance et valeur absolue
Définition
La valeur absolue |a| est la distance de a à 0. La distance entre deux réels a et b vaut |a − b| = |b − a|.
Propriétés directement liées à la distance
- |a| ≥ 0 ; |a| = 0 exactement lorsque a = 0.
- |a| = |−a|.
- |x − a| ≤ r, avec r ≥ 0, signifie que la distance de x à a est au plus r.
Périmètre officiel : en Seconde, la notation de valeur absolue est utilisée pour exprimer une distance et caractériser un intervalle. Les techniques générales de calcul avec valeur absolue relèvent d'un approfondissement et ne sont pas exigibles.
Caractérisation d'un intervalle centré
Pour r ≥ 0 :
|x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r ⇔ x ∈ [a − r ; a + r].
Le centre est a, le rayon est r, l'amplitude de l'intervalle est 2r.
5. Encadrements, arrondis et amplitude
Définitions
- Un encadrement de x est une double inégalité a ≤ x ≤ b.
- Son amplitude est b − a.
- Un encadrement décimal à 10−n près a une amplitude égale à 10−n.
- Un arrondi au rang demandé est la valeur décimale la plus proche ; si le premier chiffre supprimé est au moins 5, on augmente le dernier chiffre gardé d'une unité.
6. Pourquoi 1/3 n'est pas décimal
Démonstration exigible
Supposons que 13 soit décimal. Il existerait des entiers p et n tels que 13 = p10n. En multipliant, 10n = 3p. Ainsi 10n serait divisible par 3. Or 10n s'écrit 1 suivi de n zéros ; la somme de ses chiffres vaut 1, donc il n'est pas divisible par 3. Contradiction : 13 n'est pas décimal.
7. Irrationalité de √2
Démonstration exigible par l'absurde
Supposons √2 rationnel. On pourrait écrire √2 = pq sous forme irréductible, avec p et q entiers positifs. Alors p2 = 2q2, donc p2 est pair et p est pair. Écrivons p = 2k. On obtient 4k2 = 2q2, soit q2 = 2k2. Ainsi q est également pair. Les nombres p et q seraient tous deux divisibles par 2, contrairement au caractère irréductible de pq. Donc √2 est irrationnel.
Erreurs fréquentes
- Fermer un intervalle en l'infini : +∞ n'est pas un réel et n'est jamais inclus.
- Confondre union (« ou ») et intersection (« et »).
- Écrire √2 = 1,414 : il faut √2 ≈ 1,414.
- Pour |x − a| ≤ r, oublier que l'intervalle s'étend des deux côtés de a.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
- Tracer les deux intervalles sur une même droite.
- Pour l'intersection, conserver la partie coloriée deux fois (« et »).
- Pour la réunion, conserver toute partie coloriée au moins une fois (« ou »).
Méthode 2Méthode : choisir des chiffres significatifs
Un résultat concret doit être adapté aux données. Une longueur mesurée au centimètre ne justifie pas dix décimales. Toujours écrire l'unité et signaler une approximation avec ≈, jamais avec =.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés