Exercices corrigés — Fonctions de référence (Seconde)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 8 exercices.

Exercice 7 Challenge

Résoudre dans ℝ l'inéquation 1x ≤ 13.

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Correction détaillée

valeur interdite : x ≠ 0. Il ne faut pas multiplier par x, dont on ne connaît pas le signe : on ramène tout dans un membre et l'on étudie le signe d'un quotient.
1x − 13 = 3 − x3x. L'inéquation devient 3 − x3x ≤ 0. Le numérateur 3 − x s'annule en 3, positif avant, négatif après ; le dénominateur 3x s'annule en 0, négatif avant, positif après.

x	−∞		0		3		+∞
3 − x		+	+	+	0	−
3x		−	0	+	+	+
quotient		−	\|\|	+	0	−

Le quotient est négatif ou nul sur ]−∞ ; 0[ et sur [3 ; +∞[ : S = ]−∞ ; 0[ ∪ [3 ; +∞[. Vérification : x = −1 donne −1 ≤ 13, vrai ; x = 1 donne 1 ≤ 13, faux ; x = 6 donne 16 ≤ 13, vrai. Sur l'hyperbole, on lit la même chose : la branche négative est entièrement sous la droite y = 13, la branche positive passe dessous à partir de x = 3.

Exercice 8 Challenge

Résoudre dans ℝ l'inéquation √x ≥ 4.

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Correction détaillée

la racine carrée n'est définie que pour x ≥ 0 : on résout sur [0 ; +∞[.
Les deux membres √x et 4 sont positifs, et la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[ : elle conserve l'ordre entre nombres positifs. Donc √x ≥ 4 ⇔ (√x)² ≥ 4² ⇔ x ≥ 16.
S = [16 ; +∞[. Autre lecture : la fonction racine carrée est croissante et √16 = 4, donc √x ≥ √16 équivaut à x ≥ 16.
Vérification : √25 = 5 ≥ 4 et √9 = 3 < 4. Sur la courbe de la racine carrée, on cherche les abscisses des points situés au-dessus de la droite y = 4, à partir du point (16 ; 4). L'élévation au carré n'aurait pas été légitime avec un second membre négatif : √x ≥ −2 est vraie pour tout x ≥ 0.

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