Fonctions de référence — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 13 points à retenir et 1 méthode. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Fonction carré
Définition
La fonction carré est f(x) = x2, définie sur ℝ. Sa courbe est une parabole de sommet O, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Signe et variations
- x2 ≥ 0 pour tout x ; x2 = 0 seulement pour x = 0.
- La fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
- Son minimum sur ℝ est 0, atteint en 0.
Démonstration des variations sur [0 ; +∞[
Soient 0 ≤ a < b. Alors b2 − a2 = (b − a)(b + a). Les deux facteurs sont positifs, donc b2 > a2. La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[. Un raisonnement analogue donne la décroissance sur ]−∞ ; 0].
2. Fonction valeur absolue
Définition liée à la distance
La fonction valeur absolue associe à x sa distance à zéro : f(x) = |x|. Sa courbe est formée de deux demi-droites, en forme de V, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Signe et variations
- |x| ≥ 0 et |x| = 0 si et seulement si x = 0.
- Elle décroît sur ]−∞ ; 0] et croît sur [0 ; +∞[.
- |x − a| ≤ r décrit l'intervalle fermé de centre a et de rayon r.
Les manipulations plus générales d'expressions à valeurs absolues ne constituent pas un attendu du programme.
3. Fonction inverse
Définition
La fonction inverse est f(x) = 1x, définie sur ℝ \ {0}. Sa courbe est une hyperbole à deux branches ; elle ne coupe aucun des axes.
Signe et variations
- 1x a le même signe que x.
- La fonction inverse est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
- On ne dit pas qu'elle est décroissante sur tout son domaine : celui-ci n'est pas un intervalle et le passage de valeurs négatives à positives contredit cette formulation.
Démonstration sur ]0 ; +∞[
Soient 0 < a < b. Alors 1b − 1a = a − bab. Le numérateur est négatif et le dénominateur positif, donc 1b < 1a. L'ordre est inversé : la fonction inverse est décroissante.
4. Fonction racine carrée
Définition
La fonction racine carrée f(x) = √x est définie sur [0 ; +∞[ et prend des valeurs positives. Elle est croissante.
5. Fonction cube
Définition
La fonction cube f(x) = x3 est définie sur ℝ. Elle est strictement croissante et a le même signe que x. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
6. Positions relatives de y = x et y = x2
Démonstration exigible pour x ≥ 0
On étudie x2 − x = x(x − 1).
- Pour 0 ≤ x ≤ 1, x ≥ 0 et x − 1 ≤ 0, donc x2 ≤ x.
- Pour x ≥ 1, les deux facteurs sont positifs, donc x2 ≥ x.
Les courbes se rencontrent en x = 0 et x = 1.
7. Tableau récapitulatif
| Fonction | Domaine | Signe | Variations essentielles |
|---|---|---|---|
| x2 | ℝ | ≥ 0 | décroît jusqu'à 0, puis croît |
| |x| | ℝ | ≥ 0 | décroît jusqu'à 0, puis croît |
| 1x | ℝ \ {0} | signe de x | décroît sur chacun des deux intervalles du domaine |
| √x | [0 ; +∞[ | ≥ 0 | croît |
| x3 | ℝ | signe de x | croît |
8. Optimisation
Erreurs fréquentes
- Affirmer que la fonction carré est croissante sur ℝ.
- Inclure 0 dans le domaine de la fonction inverse.
- Multiplier une inéquation contenant 1x par x sans distinguer le signe de x.
- Oublier la condition x ≥ 0 pour la fonction racine carrée.
- Confondre la courbe de x2 avec celle de x3.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1
- Choisir la variable et son intervalle.
- Exprimer la grandeur à optimiser par une fonction.
- Conjecturer un extrémum par tableau, graphique ou logiciel.
- Justifier avec une forme algébrique adaptée ou les variations connues.
- Interpréter dans le contexte.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés