Exercices corrigés — Fonctions de référence (Seconde)

sur la parabole d'équation y = x², la droite y = 16 coupe la courbe aux points d'abscisses −4 et 4, car 4² = (−4)² = 16.
x² ≤ 16 correspond aux points de la parabole situés sous cette droite ou sur elle : x est compris entre −4 et 4. S = [−4 ; 4]. Autrement dit, la distance de x à 0 est au plus 4 : |x| ≤ 4.
x² > 16 correspond aux points strictement au-dessus de la droite : x < −4 ou x > 4. S = ]−∞ ; −4[ ∪ ]4 ; +∞[.
Erreur à éviter : écrire x² ≤ 16 ⇔ x ≤ 4, ce qui oublierait la contrainte x ≥ −4 (par exemple x = −10 vérifie x ≤ 4 mais pas x² ≤ 16). Justification algébrique : x² − 16 = (x − 4)(x + 4), négatif ou nul exactement entre les racines.

x² : sur [0 ; +∞[, la fonction carré est croissante, donc 2 ≤ x ≤ 5 entraîne 2² ≤ x² ≤ 5², soit 4 ≤ x² ≤ 25.
1x : sur ]0 ; +∞[, la fonction inverse est décroissante, l'ordre s'inverse : 15 ≤ 1x ≤ 12. Attention à ne pas écrire 12 ≤ 1x ≤ 15, qui n'a aucun sens.
√x : la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[ : √2 ≤ √x ≤ √5, soit environ 1,41 ≤ √x ≤ 2,24.
|x − 3| : c'est la distance de x à 3. Quand x parcourt [2 ; 5], cette distance est nulle pour x = 3 et maximale pour x = 5 (distance 2) ; pour x = 2 elle vaut 1. Donc 0 ≤ |x − 3| ≤ 2. La fonction valeur absolue n'est pas monotone autour de 3, il ne suffisait pas de calculer aux bornes : |2 − 3| = 1 et |5 − 3| = 2 auraient donné l'encadrement faux 1 ≤ |x − 3| ≤ 2.