Fonctions de référence — cours de Seconde
Fonction carré, Fonction valeur absolue, Fonction inverse, Fonction racine carrée Lecture ≈ 4 min.
Les courbes de référence doivent devenir des images mentales. Les fonctions valeur absolue, carré et inverse sont définies et étudiées comme références centrales ; racine carrée et cube sont également mobilisées pour résoudre graphiquement ou algébriquement des équations et inéquations simples.
1. Fonction carré
La fonction carré est f(x) = x2, définie sur ℝ. Sa courbe est une parabole de sommet O, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- x2 ≥ 0 pour tout x ; x2 = 0 seulement pour x = 0.
- La fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
- Son minimum sur ℝ est 0, atteint en 0.
Soient 0 ≤ a < b. Alors b2 − a2 = (b − a)(b + a). Les deux facteurs sont positifs, donc b2 > a2. La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[. Un raisonnement analogue donne la décroissance sur ]−∞ ; 0].
x2 < 9 signifie que x est strictement compris entre −3 et 3. Solution : ]−3 ; 3[.
x2 ≥ 9 signifie x ≤ −3 ou x ≥ 3. Solution : ]−∞ ; −3] ∪ [3 ; +∞[.
2. Fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue associe à x sa distance à zéro : f(x) = |x|. Sa courbe est formée de deux demi-droites, en forme de V, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
- |x| ≥ 0 et |x| = 0 si et seulement si x = 0.
- Elle décroît sur ]−∞ ; 0] et croît sur [0 ; +∞[.
- |x − a| ≤ r décrit l'intervalle fermé de centre a et de rayon r.
Les manipulations plus générales d'expressions à valeurs absolues ne constituent pas un attendu du programme.
|x| = 4 signifie que x est à distance 4 de 0 : x = −4 ou x = 4.
|x − 2| < 3 signifie que x est à distance strictement inférieure à 3 de 2 : −1 < x < 5.
3. Fonction inverse
La fonction inverse est f(x) = 1x, définie sur ℝ \ {0}. Sa courbe est une hyperbole à deux branches ; elle ne coupe aucun des axes.
- 1x a le même signe que x.
- La fonction inverse est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
- On ne dit pas qu'elle est décroissante sur tout son domaine : celui-ci n'est pas un intervalle et le passage de valeurs négatives à positives contredit cette formulation.
Soient 0 < a < b. Alors 1b − 1a = a − bab. Le numérateur est négatif et le dénominateur positif, donc 1b < 1a. L'ordre est inversé : la fonction inverse est décroissante.
Résoudre 1x = 14 : x = 4.
Résoudre 1x > 2 : on étudie 1 − 2xx > 0. Les valeurs critiques sont 0 (interdite) et 12 (zéro). Le quotient est positif sur ]0 ; 12[.
4. Fonction racine carrée
La fonction racine carrée f(x) = √x est définie sur [0 ; +∞[ et prend des valeurs positives. Elle est croissante.
√x = 5 ⇔ x = 25, avec x ≥ 0.
√x < 3 ⇔ 0 ≤ x < 9, car les deux membres sont positifs et la fonction carré conserve l'ordre sur [0 ; +∞[.
5. Fonction cube
La fonction cube f(x) = x3 est définie sur ℝ. Elle est strictement croissante et a le même signe que x. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
x3 = 8 donne x = 2. x3 < −27 donne x < −3 puisque la fonction cube est croissante.
6. Positions relatives de y = x et y = x2
On étudie x2 − x = x(x − 1).
- Pour 0 ≤ x ≤ 1, x ≥ 0 et x − 1 ≤ 0, donc x2 ≤ x.
- Pour x ≥ 1, les deux facteurs sont positifs, donc x2 ≥ x.
Les courbes se rencontrent en x = 0 et x = 1.
7. Tableau récapitulatif
| Fonction | Domaine | Signe | Variations essentielles |
|---|---|---|---|
| x2 | ℝ | ≥ 0 | décroît jusqu'à 0, puis croît |
| |x| | ℝ | ≥ 0 | décroît jusqu'à 0, puis croît |
| 1x | ℝ \ {0} | signe de x | décroît sur chacun des deux intervalles du domaine |
| √x | [0 ; +∞[ | ≥ 0 | croît |
| x3 | ℝ | signe de x | croît |
8. Optimisation
- Choisir la variable et son intervalle.
- Exprimer la grandeur à optimiser par une fonction.
- Conjecturer un extrémum par tableau, graphique ou logiciel.
- Justifier avec une forme algébrique adaptée ou les variations connues.
- Interpréter dans le contexte.
Parmi les rectangles de périmètre 24 cm, trouver celui d'aire maximale.
Si x est une longueur, l'autre vaut 12 − x et x ∈ [0 ; 12]. L'aire vaut A(x) = x(12 − x) = 36 − (x − 6)2. Comme (x − 6)2 ≥ 0, A(x) ≤ 36. Le maximum 36 cm2 est atteint pour x = 6 : le rectangle optimal est un carré.
- Affirmer que la fonction carré est croissante sur ℝ.
- Inclure 0 dans le domaine de la fonction inverse.
- Multiplier une inéquation contenant 1x par x sans distinguer le signe de x.
- Oublier la condition x ≥ 0 pour la fonction racine carrée.
- Confondre la courbe de x2 avec celle de x3.