Exercices corrigés — Fonctions de référence (Seconde)

les deux nombres −2,3 et −2,4 sont négatifs : on se place sur l'intervalle ]−∞ ; 0], où la fonction carré est décroissante.
Une fonction décroissante inverse l'ordre : comme −2,4 < −2,3, on obtient (−2,4)² > (−2,3)².
Vérification numérique : (−2,4)² = 5,76 et (−2,3)² = 5,29, et 5,76 > 5,29.
Sur [0 ; +∞[, la fonction carré est croissante et conserverait l'ordre : 2,3 < 2,4 donne 2,3² < 2,4². C'est pourquoi on précise toujours l'intervalle sur lequel on utilise les variations ; la fonction carré n'est pas monotone sur ℝ.

a) La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[ : comme 6,5 < 7, on a √6,5 < √7.
b) La fonction cube est croissante sur ℝ tout entier : comme −1,3 < −1,2, on a (−1,3)³ < (−1,2)³. Vérification : −2,197 < −1,728.
c) Les deux nombres sont dans ]−∞ ; 0[, où la fonction inverse est décroissante : comme −5 < −3, on a 1−5 > 1−3, c'est-à-dire −0,2 > −0,333… L'ordre est inversé.
d) (−0,8)² = 0,8², car un nombre et son opposé ont le même carré. Sur [0 ; +∞[, la fonction carré est croissante et 0,7 < 0,8, donc 0,7² < 0,8² = (−0,8)². Vérification : 0,49 < 0,64. Retenir : pour comparer deux carrés, on compare les distances à 0.

sur la parabole d'équation y = x², la droite y = 16 coupe la courbe aux points d'abscisses −4 et 4, car 4² = (−4)² = 16.
x² ≤ 16 correspond aux points de la parabole situés sous cette droite ou sur elle : x est compris entre −4 et 4. S = [−4 ; 4]. Autrement dit, la distance de x à 0 est au plus 4 : |x| ≤ 4.
x² > 16 correspond aux points strictement au-dessus de la droite : x < −4 ou x > 4. S = ]−∞ ; −4[ ∪ ]4 ; +∞[.
Erreur à éviter : écrire x² ≤ 16 ⇔ x ≤ 4, ce qui oublierait la contrainte x ≥ −4 (par exemple x = −10 vérifie x ≤ 4 mais pas x² ≤ 16). Justification algébrique : x² − 16 = (x − 4)(x + 4), négatif ou nul exactement entre les racines.

x² : sur [0 ; +∞[, la fonction carré est croissante, donc 2 ≤ x ≤ 5 entraîne 2² ≤ x² ≤ 5², soit 4 ≤ x² ≤ 25.
1x : sur ]0 ; +∞[, la fonction inverse est décroissante, l'ordre s'inverse : 15 ≤ 1x ≤ 12. Attention à ne pas écrire 12 ≤ 1x ≤ 15, qui n'a aucun sens.
√x : la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[ : √2 ≤ √x ≤ √5, soit environ 1,41 ≤ √x ≤ 2,24.
|x − 3| : c'est la distance de x à 3. Quand x parcourt [2 ; 5], cette distance est nulle pour x = 3 et maximale pour x = 5 (distance 2) ; pour x = 2 elle vaut 1. Donc 0 ≤ |x − 3| ≤ 2. La fonction valeur absolue n'est pas monotone autour de 3, il ne suffisait pas de calculer aux bornes : |2 − 3| = 1 et |5 − 3| = 2 auraient donné l'encadrement faux 1 ≤ |x − 3| ≤ 2.

|x − 6| est la distance entre x et 6 sur la droite graduée. L'inéquation demande que cette distance soit au plus 1,5.
Les réels concernés sont ceux situés entre 6 − 1,5 = 4,5 et 6 + 1,5 = 7,5, bornes comprises puisque l'inégalité est large.
S = [4,5 ; 7,5] : l'intervalle de centre 6 et de rayon 1,5. Par équivalences : |x − 6| ≤ 1,5 ⇔ −1,5 ≤ x − 6 ≤ 1,5 ⇔ 4,5 ≤ x ≤ 7,5.
Graphiquement, la courbe en V de x ↦ |x − 6| a son sommet en (6 ; 0) ; on cherche les abscisses où elle est sous la droite y = 1,5, ce qui donne bien le segment [4,5 ; 7,5]. Vérification : x = 7 donne |1| = 1 ≤ 1,5, et x = 8 donne 2 > 1,5.

les nombres 7 et 9 appartiennent à ]0 ; +∞[, intervalle sur lequel la fonction inverse est strictement décroissante.
Une fonction décroissante inverse l'ordre : comme 7 < 9, on obtient 17 > 19.
Justification directe : 17 − 19 = 9 − 763 = 263 > 0. Vérification décimale : 17 ≈ 0,143 et 19 ≈ 0,111.
Attention : la fonction inverse n'est pas décroissante sur tout son domaine. Pour comparer 1−2 et 13, on ne peut pas invoquer les variations, car −2 et 3 ne sont pas dans le même intervalle ; on raisonne alors sur les signes, 1−2 < 0 < 13.

valeur interdite : x ≠ 0. Il ne faut pas multiplier par x, dont on ne connaît pas le signe : on ramène tout dans un membre et l'on étudie le signe d'un quotient.
1x − 13 = 3 − x3x. L'inéquation devient 3 − x3x ≤ 0. Le numérateur 3 − x s'annule en 3, positif avant, négatif après ; le dénominateur 3x s'annule en 0, négatif avant, positif après.

la racine carrée n'est définie que pour x ≥ 0 : on résout sur [0 ; +∞[.
Les deux membres √x et 4 sont positifs, et la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[ : elle conserve l'ordre entre nombres positifs. Donc √x ≥ 4 ⇔ (√x)² ≥ 4² ⇔ x ≥ 16.
S = [16 ; +∞[. Autre lecture : la fonction racine carrée est croissante et √16 = 4, donc √x ≥ √16 équivaut à x ≥ 16.
Vérification : √25 = 5 ≥ 4 et √9 = 3 < 4. Sur la courbe de la racine carrée, on cherche les abscisses des points situés au-dessus de la droite y = 4, à partir du point (16 ; 4). L'élévation au carré n'aurait pas été légitime avec un second membre négatif : √x ≥ −2 est vraie pour tout x ≥ 0.