Soit f(x) = −3x + 1. a) Donner le sens de variation de f. b) Sans calculer les images, comparer f(√2) et f(1,5), puis f(−2,1) et f(−2). c) Retrouver le premier résultat par le calcul.
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a) Le coefficient directeur est −3 < 0 : f est strictement décroissante sur ℝ. Elle range donc les images dans l'ordre contraire des antécédents : si a < b, alors f(a) > f(b).
b) On sait que 1,4 < √2 < 1,5, donc √2 < 1,5. Comme f est décroissante, f(√2) > f(1,5). De même, −2,1 < −2, donc f(−2,1) > f(−2).
c) f(√2) = −3√2 + 1 ≈ −3,24 et f(1,5) = −4,5 + 1 = −3,5. On a bien −3,24 > −3,5, c'est-à-dire f(√2) > f(1,5). Pour l'autre couple : f(−2,1) = 7,3 et f(−2) = 7, et 7,3 > 7.
Le sens de variation permet de comparer des images sans aucun calcul, ce qui est précieux quand les valeurs sont compliquées ; avec une fonction croissante, l'ordre des images serait le même que celui des antécédents.