Exercices corrigés — Fonctions affines et variations (Seconde)

f est de la forme mx + p avec m = 3 et p = −7. Le coefficient directeur est 3 : quand x augmente de 1, f(x) augmente de 3. L'ordonnée à l'origine est −7 : f(0) = −7, la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; −7).
Sens de variation : m = 3 > 0, donc f est strictement croissante sur ℝ. Justification : si x₁ < x₂, alors f(x₂) − f(x₁) = 3(x₂ − x₁) > 0.
Zéro : f(x) = 0 ⇔ 3x − 7 = 0 ⇔ x = 73. La droite coupe l'axe des abscisses au point (73 ; 0).
Signe : f est croissante et s'annule en 73, donc f(x) < 0 pour x < 73 et f(x) > 0 pour x > 73. Attention à ne pas confondre « croissante » (la fonction monte) et « positive » (la fonction est au-dessus de l'axe) : ici f est croissante partout mais négative avant 73.

a) Le prix est le déplacement, fixe, plus 35 € par heure : f(x) = 35x + 40. C'est une fonction affine, de coefficient directeur 35 et d'ordonnée à l'origine 40. Elle n'est pas linéaire (le prix n'est pas proportionnel à la durée) à cause du déplacement.
b) L'ordonnée à l'origine 40 est le prix pour une durée nulle : le déplacement seul. Le coefficient directeur 35 est le taux d'accroissement : chaque heure supplémentaire augmente la facture de 35 €.
c) f(2) = 35 × 2 + 40 = 110 : une intervention de 2 heures coûte 110 €.
d) On résout f(x) = 180 : 35x + 40 = 180 ⇔ 35x = 140 ⇔ x = 4. Une facture de 180 € correspond à 4 heures de travail. Vérification : 35 × 4 + 40 = 180.

une fonction affine s'écrit f(x) = mx + p. Le coefficient directeur se calcule avec les deux points : m = y_D − y_Cx_D − x_C = 9 − 16 − 2 = 84 = 2. Il faut prendre les différences dans le même ordre au numérateur et au dénominateur.
On utilise ensuite l'un des points pour trouver p : C appartient à la droite, donc f(2) = 1, soit 2 × 2 + p = 1, d'où p = 1 − 4 = −3.
Ainsi f(x) = 2x − 3.
Contrôle avec le second point : f(6) = 2 × 6 − 3 = 9, qui est bien l'ordonnée de D. Interprétation : en avançant de 4 unités (de 2 à 6), on monte de 8 unités, soit une pente de 2.

a) Le point E est sur l'axe des ordonnées : l'ordonnée à l'origine se lit directement, p = 2. Le coefficient directeur vaut m = 0 − 24 − 0 = −24 = −12 : en avançant de 4 vers la droite, on descend de 2. Donc g(x) = −(12)x + 2.
b) G(−2 ; 3) est sur la droite si g(−2) = 3. Or g(−2) = −(12) × (−2) + 2 = 1 + 2 = 3 : oui, G appartient à la droite.
c) Le coefficient directeur −12 est négatif : g est strictement décroissante sur ℝ. La droite « descend » quand on la parcourt de gauche à droite, ce qui est cohérent avec E(0 ; 2) puis F(4 ; 0).
Zéro de g : g(x) = 0 pour x = 4, l'abscisse de F ; g est positive avant 4 et négative après.

f(x) = 5 − 2x = −2x + 5 a pour coefficient directeur m = −2 < 0 et pour zéro x₀ = −5−2 = 52. Une fonction affine de coefficient négatif est positive avant son zéro et négative après.

on regroupe les termes en x dans un membre : −2x + 5 ≥ 3x − 10 ⇔ 5 + 10 ≥ 3x + 2x ⇔ 15 ≥ 5x. On divise par 5, strictement positif, sans changer le sens : 3 ≥ x, soit x ≤ 3.
S = ]−∞ ; 3]. Vérification : pour x = 0, 5 ≥ −10 est vrai ; pour x = 4, −3 ≥ 2 est faux ; pour x = 3, les deux membres valent −1, d'où la borne incluse.
Interprétation graphique : on trace les droites d'équations y = −2x + 5 (décroissante) et y = 3x − 10 (croissante). Elles se coupent au point d'abscisse 3, d'ordonnée −1.
L'inéquation est vérifiée là où la première droite est au-dessus de la seconde ou la touche : à gauche du point d'intersection, c'est-à-dire pour x ≤ 3.

a) Le coefficient directeur est −3 < 0 : f est strictement décroissante sur ℝ. Elle range donc les images dans l'ordre contraire des antécédents : si a < b, alors f(a) > f(b).
b) On sait que 1,4 < √2 < 1,5, donc √2 < 1,5. Comme f est décroissante, f(√2) > f(1,5). De même, −2,1 < −2, donc f(−2,1) > f(−2).
c) f(√2) = −3√2 + 1 ≈ −3,24 et f(1,5) = −4,5 + 1 = −3,5. On a bien −3,24 > −3,5, c'est-à-dire f(√2) > f(1,5). Pour l'autre couple : f(−2,1) = 7,3 et f(−2) = 7, et 7,3 > 7.
Le sens de variation permet de comparer des images sans aucun calcul, ce qui est précieux quand les valeurs sont compliquées ; avec une fonction croissante, l'ordre des images serait le même que celui des antécédents.

a) Le coefficient directeur est le rapport des variations : m = 86 − 6830 − 20 = 1810 = 1,8. Une hausse de 1 °C correspond à une hausse de 1,8 °F. Avec le premier point : 68 = 1,8 × 20 + p = 36 + p, donc p = 32.
La relation est F = 1,8C + 32. Contrôle avec le second point : 1,8 × 30 + 32 = 54 + 32 = 86.
b) Pour C = 100 : F = 180 + 32 = 212. L'eau bout à 212 °F. L'ordonnée à l'origine 32 est la température de fusion de la glace en °F.
c) Les deux échelles coïncident lorsque F = C, soit C = 1,8C + 32 ⇔ −0,8C = 32 ⇔ C = −40. À −40 °C, il fait aussi −40 °F. Vérification : 1,8 × (−40) + 32 = −72 + 32 = −40.