Fonctions affines et variations — cours de Seconde
Fonction affine, linéaire et constante, Interpréter les coefficients, Déterminer une expression affine, Sens de variation Lecture ≈ 4 min.
1. Fonction affine, linéaire et constante
- Une fonction affine est de la forme f(x) = mx + p.
- m est le coefficient directeur, la pente ou le taux d'accroissement.
- p est l'ordonnée à l'origine : f(0) = p.
- Si p = 0, f(x) = mx est linéaire.
- Si m = 0, f(x) = p est constante.
La courbe d'une fonction affine est une droite. Réciproquement, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées représente une fonction affine.
2. Interpréter les coefficients
Pour tous réels distincts x1 et x2 :
m = [f(x2) − f(x1)]/(x2 − x1).
Autrement dit, quand x augmente de Δx, f(x) varie de mΔx.
Un réservoir contient initialement 120 L et perd 3 L par minute. Le volume après t minutes est V(t) = 120 − 3t. L'ordonnée à l'origine 120 est le volume initial ; la pente −3 exprime une baisse de 3 L par minute.
3. Déterminer une expression affine
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points distincts de la droite, avec xA ≠ xB :
- calculer m = yB − yAxB − xA ;
- utiliser yA = mxA + p pour trouver p ;
- vérifier avec le second point.
La droite passe par A(−1 ; 5) et B(3 ; −3).
m = −3 − 53 − (−1) = −84 = −2.
Avec A : 5 = −2 × (−1) + p = 2 + p, donc p = 3.
La fonction est f(x) = −2x + 3. Contrôle : f(3) = −6 + 3 = −3.
4. Sens de variation
Pour f(x) = mx + p :
- si m > 0, f est strictement croissante sur ℝ ;
- si m < 0, f est strictement décroissante sur ℝ ;
- si m = 0, f est constante.
Soient x1 < x2. Alors x2 − x1 > 0 et f(x2) − f(x1) = m(x2 − x1). Si m > 0, cette différence est positive : f(x2) > f(x1), donc f est croissante. Si m < 0, la différence est négative : f est décroissante.
5. Zéro et signe
Le zéro de f(x) = mx + p est x0 = −pm.
- Si m > 0 : f(x) < 0 pour x < x0, puis f(x) > 0 pour x > x0.
- Si m < 0 : f(x) > 0 pour x < x0, puis f(x) < 0 pour x > x0.
Étudier f(x) = −4x + 6. Le zéro vérifie −4x + 6 = 0, donc x = 32. Comme m = −4 < 0, f est positive avant 32 et négative après.
| x | ]−∞ ; 32[ | 32 | ]32 ; +∞[ |
|---|---|---|---|
| f(x) | + | 0 | − |
6. Comparer deux fonctions affines
Deux taxis proposent A(x) = 4 + 1,8x et B(x) = 7 + 1,2x, en euros pour x km. Quand A est-il moins cher ou égal à B ?
4 + 1,8x ≤ 7 + 1,2x
0,6x ≤ 3, donc x ≤ 5.
Pour une distance comprise entre 0 et 5 km, A est au plus aussi cher que B. Les droites se coupent au point d'abscisse 5.
- Calculer la pente avec des ordres différents au numérateur et au dénominateur.
- Confondre m et p : p se lit à x = 0, m mesure une variation.
- Dire qu'une pente négative signifie que la fonction est négative ; elle signifie que la fonction décroît.
- Attribuer une équation réduite y = mx + p à une droite verticale.